Esame di Stato 2009 – 7

Si dimostri l’identità ${n \choose k+1} ={n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$ dove n e k naturali e n > k.

Sviluppa il 1° membro

${n \choose k+1}$ = $\frac{n!}{(k+1)!\ (n-(k+1))!}$

e il 2° membro

${n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$ = $\frac{n!}{k!\ (n-k)!} \ \frac{n-k}{k+1}$

Utilizza le identità

$(k+1)!=(k+1)\ k!$
$(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!=(n-k)(n-(k+1))!$

per ottenere

${n \choose k+1}$ = $\frac{n!}{(k+1)!\ (n-(k+1))!}$ = $\frac{n! \ (n-k)}{(k+1)\ k!\ (n-k)\ (n-(k+1))!}$ = $\frac{n!}{k!\ (n-k)!} \ \frac{n-k}{k+1}$ = ${n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$