Funzione di ripartizione

di

La funzione che associa a ogni valore x la probabilità che la variabile X assuma valori minori o uguali di x

  • F(x) = p(X ≤ x)
  • p(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
  • a < b ⇒ F(a) ≤ F(b)
  • 0 ≤ F(x) ≤ 1

Se x1 < x2 < … < xn

  • x < x1 ⇒ F(x) = 0
  • x ≥ xn ⇒ F(x) = 1
  • xk ≤ x ≤ xk+1 ⇒ F(x) = p1 + p2 + … + pk

Teorema di Cebysev

  • \displaystyle p(|X-m|\ >\ \epsilon) \ \leq \ \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
  • La probabilità che lo scarto dalla media, in valore assoluto, sia maggiore di un valore prefissato è minore o uguale a …
  • \displaystyle p(|X-m|\ \leq \ \epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
  • \displaystyle p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}

Esempi

  1. ε =σ
    • p(|X-m| > σ) ≤ 1, inutile
    • p(|X-m| ≤ σ) ≥ 0, inutile
  2. ε =2σ
    • p(|X-m| > 2σ) ≤ 1/4 = 0,25
    • p(|X-m| ≤ 2σ) ≥ 3/4 = 0,75
  3. ε =3σ
    • p(|X-m| > 3σ) ≤ 1/9 = 0, 1111…, la probabilità che lo scarto tra il valore della variabile casuale e il suo valor medio superi il triplo della varianza è molto bassa
    • p(|X-m| ≤ 3σ) ≥ 8/9 = 0,8888…, la probabilità che lo scarto tra il valore della variabile casuale e il suo valor medio non superi il triplo della varianza è molto alta