Variabili casuali discrete

X, variabile casuale discreta, una grandezza il cui valore dipende da un evento aleatorio

Valori: x₁, x₂, …, x_n
Eventi: E₁, E₂, …, E_n
Funzione di distribuzione, associa a ciascun valore della variabile la probabilità dell’evento associato a tale valore
- p(X=x₁) = p(E₁) = p₁
- p(X=x₂) = p(E₂) = p₂
- …
- p(X=x_n) = p(E_n) = p_n
p₁+ p₂+ … + p_n = 1
$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=1$
X+a
- Valori: x₁+a, x₂+a, …, x_n+a
- Eventi: E₁, E₂, …, E_n
aX
- Valori: ax₁, ax₂, …, ax_n
- Eventi: E₁, E₂, …, E_n
aX+b
- Valori: ax₁+b, ax₂+b, …, ax_n+b
- Eventi: E₁, E₂, …, E_n

La funzione che associa a ogni valore x la probabilità che la variabile X assuma valori minori o uguali di x
F(x) = p(X ≤ x)
p(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
a < b ⇒ F(a) ≤ F(b)
0 ≤ F(x) ≤ 1

Se x₁ < x₂ < … < x_n

$\displaystyle p(|X-m|\ >\ \epsilon) \ \leq \ \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$
La probabilità che lo scarto dalla media, in valore assoluto, sia maggiore di un valore prefissato è minore o uguale a …
$\displaystyle p(|X-m|\ \leq \ \epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$
$\displaystyle p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

Esempi

ε =σ
- p(|X-m| > σ) ≤ 1, inutile
- p(|X-m| ≤ σ) ≥ 0, inutile
ε =2σ
- p(|X-m| > 2σ) ≤ 1/4 = 0,25
- p(|X-m| ≤ 2σ) ≥ 3/4 = 0,75
ε =3σ
- p(|X-m| > 3σ) ≤ 1/9 = 0, 1111…, la probabilità che lo scarto tra il valore della variabile casuale e il suo valor medio superi il triplo della varianza è molto bassa
- p(|X-m| ≤ 3σ) ≥ 8/9 = 0,8888…, la probabilità che lo scarto tra il valore della variabile casuale e il suo valor medio non superi il triplo della varianza è molto alta