Serie

di

Calcolo – 2

Da Wikipedia

Una successione è una sequenza ordinata di infiniti elementi.

Una serie è la somma degli elementi di una successione.

Si tratta di una generalizzazione dell’operazione di addizione, che può essere in tal modo estesa al caso in cui partecipano infiniti termini.

Si consideri una successione di elementi: \{a_n\} = \{a_0, a_1, a_2, \dots \}

Si definisce serie associata a \{a_n\} la somma formale

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \dots

Per ogni indice k della successione si definisce la somma parziale (o ridotta)

\displaystyle S_k = \sum_{n=0}^{k} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_k

come la somma dei termini della successione \{a_n\} da 0 a k.

Si dice che la serie \{a_n\} tende o converge al limite L se la successione delle somme parziali \{S_k\} associata converge a L.

Ovvero

\displaystyle L = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow +\infty} S_k = L

Questo limite si dice somma della serie.

Serie notevoli

1= \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}= \displaystyle \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots= \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dotsReciproci delle potenze di 2
1= \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots= \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\dots…
\displaystyle \frac{\pi}{4}= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}= \displaystyle (-1)^0 \frac{1}{2\cdot 0+1}+(-1)^1 \frac{1}{2\cdot 1+1}+\dots= \displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dotsLeibniz
Reciproci dei numeri dispari,
con segni alterni
\displaystyle \frac{\ \pi^2}{6}= \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}= \displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots= \displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dotsEulero
Reciproci dei quadrati
\displaystyle \frac{\ \pi^4}{90}= \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}= \displaystyle \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots= \displaystyle 1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dotsReciproci delle 4° potenze
e= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}= \displaystyle \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots= \displaystyle 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dotsReciproci dei fattoriali
\displaystyle e^x= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}……Rapporti tra le potenze e i fattoriali
……………

RISORSE