Autovalori

24/03/202501/10/2024 di admin

Algebra lineare

Considera la matrice

$\displaystyle A-\lambda I$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22} & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} -\lambda\cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

= $\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22} & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22}-\lambda & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33}-\lambda \end{bmatrix}$

Autovalori

Il numero $\lambda$ è un autovalore di A se è radice dell’equazione

$\displaystyle \det (A-\lambda I)=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22}-\lambda & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33}-\lambda \end{vmatrix}=0$

Il primo membro dell’equazione è il polinomio caratteristico di A

Raggio spettrale

Sia $\sigma(A)$ l’insieme degli autovalori di A allora $\rho(A)$ è il raggio spettrale di A, il valore più alto tra essi

$\rho(A) = max |\lambda|$

$\lambda\in\sigma(A)$

Matrice 2×2

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21}\\a_{12} & a_{22}\end{bmatrix}$

$\displaystyle \det (A-\lambda I)=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda & a_{21}\\a_{12} & a_{22}-\lambda\end{vmatrix}=0$

$\displaystyle (a_{11}-\lambda)\cdot (a_{22}-\lambda)-a_{21}\cdot a_{12} = 0$

$\displaystyle \lambda^2 -(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}) = 0$

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$

$\displaystyle \det (A-\lambda I)=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix}a-\lambda & b\\c & d-\lambda\end{vmatrix}=0$

$\displaystyle (a-\lambda)\cdot (d-\lambda)-b\cdot c = 0$

$\displaystyle \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc) = 0$

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix}1-\lambda & 2\\3 & 4-\lambda\end{vmatrix}=0$

$\displaystyle (1-\lambda)\cdot (4-\lambda)-2\cdot 3 = 0$

$\displaystyle 4-5\lambda+\lambda^2-6 = 0$

$\displaystyle \lambda^2 -5\lambda-2 = 0$

$\begin{cases}\lambda_1 = ...\\\lambda_2 = ...\end{cases}$