Metodo di Esaustione

Da Wikipedia

Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane.
Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data.
L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Il sofista Antifonte (430 a.C.) tentò di determinare l’area del cerchio inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non “esaurisce”.

Un più famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede.

Il primo poligono è un esagono inscritto.
Il poligono successivo ha il doppio dei lati del precedente.
Si ottiene un’approssimazione sempre più precisa di pi greco considerando che

$p_{6} < p_{12} < p_{24} < \dots < 2\cdot \pi \cdot r$

$\displaystyle \frac{p_{6}}{2\cdot r} < \frac{p_{12}}{2\cdot r} < \frac{p_{24}}{2\cdot r} < \dots < \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot r}$

$\pi_{6} < \pi_{12} < \pi_{24} < \dots < \pi$

Facciamo 3 passi
$\Delta$ è necessario per il passo successivo

	$l_n$ Lato	$p_n$ Perimetro	$\pi_n$ Pi greco	$a_n$ Apotema	$\Delta_n$ Delta
6	$\displaystyle l_6$	$\displaystyle 6\cdot l_6$	$\displaystyle \frac{p_6}{2\cdot r}$	$\displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_6}{2}\right)^2}$	$\displaystyle r-a_6$
12	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_6}{2}\right)^2+\Delta_6^2}$	$12\cdot l_{12}$	$\displaystyle \frac{p_{12}}{2\cdot r}$	$\displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_{12}}{2}\right)^2}$	$\displaystyle r-a_{12}$
24	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_{12}}{2}\right)^2+\Delta_{12}^2}$	$24\cdot l_{24}$	$\displaystyle \frac{p_{24}}{2\cdot r}$	$\displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_{24}}{2}\right)^2}$	$\displaystyle r-a_{24}$

Sostituendo $l_6=r$

	$l_n$ Lato	$p_n$ Perimetro	$\pi_n$ Pi greco	$a_n$ Apotema	$\Delta_n$ Delta
6	$\displaystyle r$	$\displaystyle 6\cdot r$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot r$	$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\right)\cdot r$
12	$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot r$	$\displaystyle 12\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot r$	$\displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot r$	$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot r$
24	$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r$	$\displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r$	$\displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r$	$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot r$

L’approssimazione di $\pi$ non dipende da $r$
$r=1$

	$l_n$ Lato	$p_n$ Perimetro	$\pi_n$ Pi greco	$a_n$ Apotema	$\Delta_n$ Delta
6	1	6	3	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}$	$\displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}$
12	$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\displaystyle 12\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$	$\displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$
24	$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
48	$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$	$\displaystyle 48\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$	$\displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$	$\displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

Approssimazioni

Passo	#Lati	$\pi$	$\pi$
1	6	$\displaystyle 3$	3,0000000000
2	12	$\displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$	3,1058285412
3	24	$\displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	3,1326286133
4	48	$\displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$	3,1393502030
5	96	$\displaystyle 48\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$	3,1410319509
6	192	$\displaystyle 96\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}$	3,1414524723
7	384	…	3,1415576079
8	768	…	3,1415838921
9	1536	…	3,1415904632
10	3072	…	3,1415921060
11	6144	…	3,1415925167
12	12288	…	3,1415926194
13	24576	…	3,1415926450
14	49152	…	3,1415926515
15	98304	…	3,1415926531