Alcuni approfondimenti

di

Legge empirica del caso

Quando si ripete molte volte una prova aleatoria, la frequenza relativa di un esito, f_r=\frac{N_e}{N}, è molto simile alla probabilità a priori, p=\frac{n_e}{n}, di quell’esito

f_r \approx p, \frac{N_e}{N} \approx \frac{n_e}{n}

quindi

N_e \approx p\cdot N

Quando si ripete molte volte una prova aleatoria, il numero di volte che si verifica un certo esito è molto simile al prodotto tra la sua probabilità a priori e il numero totale di prove

Legge dei grandi numeri (teorema di Bernoulli)

…

Media troncata

La media aritmetica dei dati escludendo un numero di valori minimi e massimi corrispondente a una percentuale specificata

Media armonica

\displaystyle \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

Media geometrica

\displaystyle \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}

Media delle deviazioni assolute

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}}|

\sum_{i}\ p_i\ |x_i-\overline{x}}|

Varianza

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=\sum_i \ p_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

Deviazione standard
Scarto quadratico medio

\sigma_X=\sqrt { \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n} }

Deviazione standard relativa (coefficiente di variazione)

\sigma^{*}_X=\frac{\sigma_X}{|\overline{x}|}}

Consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

Media

\overline{x}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

\overline{x}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ x_i (con frequenze assolute)

\overline{x}=\frac{1}{100}\displaystyle \sum_{i=1}^k f_i\ x_i (con frequenze percentuali)

\overline{x}=\displaystyle \sum_{i=1}^k f_i\ x_i (con frequenze relative)

\overline{x}=\sum_{i} \ p_i\ x_i (con probabilità)

Media delle deviazioni assolute

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}}|

\sum_{i}\ p_i\ |x_i-\overline{x}}|

Varianza

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=\sum_i \ p_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

Deviazione standard, scarto quadratico medio

\sigma_X=\sqrt { \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n} }

Deviazione standard relativa (coefficiente di variazione)

\sigma^{*}_X=\frac{\sigma_X}{|\overline{x}|}}

Consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

La media delle deviazioni…

\overline{x-\overline{x}} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x}})

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i- \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \overline{x}}

= \overline{x}- \frac{1}{n}\cdot n\cdot \overline{x}}

= 0

La media di aX…

\overline{a\cdot x} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a\cdot x_i

= a\cdot \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

= a \cdot \overline{x}

La media di X+b…

\overline{x+b} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b)

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i+\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b

= \overline{x}+b

La varianza di aX…

var(a \cdot x) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a\cdot x_i-\overline{a \cdot x}})^2

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a^2\cdot x_i^2-2\cdot a\cdot x_i\cdot \overline{a \cdot x} +{\overline{a \cdot x}^2)

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a^2\cdot x_i^2-2\cdot a^2\cdot a_i \cdot\overline{x} +a^2\cdot{\overline{x}^2)

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^2(x_i^2-2\cdot a_i\cdot \overline{x} +{\overline{x}^2)

= a^2 \cdot\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

= a^2 \cdot var(x)

La varianza di X+b…

var(x+b) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b-\overline{x+b})^2

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b-\overline{x}-b)^2

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

= var(x)

La varianza di X…

var(x) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_i\cdot \overline{x} + \overline{x}^2)

= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-2\overline{x}\cdot \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i+ \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \overline{x}^2

= \overline{x^2}-2\overline{x}\overline{x}+ \frac{1}{n}\cdot n\cdot \overline{x}^2

= \overline{x^2}-\overline{x}^2

var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

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