Determinante, con la regola di Laplace

di
Algebra lineare

La regola di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice come somma di tutti i complementi algebrici di una riga, oppure di una colonna, a piacere.

Se la matrice è 1×1 allora \displaystyle |A| = a_{11}, altrimenti (con un approccio ricorsivo) scegli una riga i di A e calcola

\displaystyle |A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{\textbf{i}+j}\cdot a_{\textbf{i}j}\cdot |A_{\textbf{i}j}|

oppure scegli una colonna j di A e calcola

\displaystyle |A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+\textbf{j}}\cdot a_{i\textbf{j}}\cdot |A_{i\textbf{j}}|

Osserva

  • L’espressione (-1)^{i+j} porta a segni alterni
  • A_{ij} è la sottomatrice di A che si ottiene eliminando la riga i e la colonna j
  • |A_{ij}| è il minore complementare di a_{ij}, il determinante della sottomatrice A_{ij}
  • (-1)^{i+j}\cdot |A_{ij}| è il cofattore di a_{ij}
  • (-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot |A_{ij}| è il complemento algebrico ij

Per semplificare il calcolo del determinante scegli la riga o la colonna con più zeri.

Riepilogo

|a_{11}|

= a_{11}

\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}

= a_{11}\cdot |A_{11}| - a_{12}\cdot |A_{12}|

= a_{11}\cdot |a_{22}| - a_{12}\cdot |a_{21}|

= a_{11}\, a_{22} - a_{12}\, a_{21}

Esempio

\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot |4| -2\cdot |3|

= 1\cdot 4 -2\cdot 3 = 4-6 = -2

oppure

= a_{11}\cdot |A_{11}| - a_{21}\cdot |A_{21}|

= a_{11}\cdot |a_{22}| - a_{22}\cdot |a_{12}|

= a_{11}\, a_{22} - a_{12}\, a_{22}

Esempio

\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot |4| -3\cdot |2|

= 1\cdot 4 -3\cdot 2 = 4-6 = -2

\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

= a_{11}\cdot |A_{11}| - a_{12}\cdot |A_{12}| + a_{13}\cdot |A_{13}|

= a_{11}\cdot \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\cdot \begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\cdot \begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}

= a_{11}(a_{22}\, a_{33}-a_{23}\, a_{32}) - a_{12} (a_{21}\, a_{33}-a_{23}\, a_{31}) + a_{13}(a_{21}\, a_{32}-a_{22}\, a_{31})

= a_{11}\, a_{22}\, a_{33}-a_{11}\, a_{23}\, a_{32} -a_{12}\, a_{21}\, a_{33}+a_{12}\, a_{23}\, a_{31}+a_{13}\, a_{21}\, a_{32}-a_{13}\, a_{22}\, a_{31}

oppure

= a_{11}\cdot |A_{11}| - a_{21}\cdot |A_{21}| + a_{31}\cdot |A_{31}|

= a_{11}\cdot \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{21}\cdot \begin{vmatrix}a_{12} & a_{13} \\a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{31}\cdot \begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}

= a_{11}(a_{22}\, a_{33}-a_{23}\, a_{32}) - a_{21} (a_{12}\, a_{33}-a_{13}\, a_{32}) + a_{31}(a_{12}\, a_{23}-a_{13}\, a_{22})

= a_{11}\, a_{22}\, a_{33} - a_{11}\, a_{23}\, a_{32} - a_{12}\, a_{21}\, a_{33}+a_{13}\, a_{21}\, a_{32}+a_{12}\, a_{23}\, a_{31} - a_{13}\, a_{22}\, a_{31}

\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}

= a_{11}\cdot |A_{11}| - a_{12}\cdot |A_{12}| + a_{13}\cdot |A_{13}| - a_{14}\cdot |A_{14}|

= a_{11}\cdot \displaystyle \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{12}\cdot \displaystyle \begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}

+ a_{13}\cdot \displaystyle \begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{14}\cdot \displaystyle \begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}