Disposizioni

27/03/2018 di admin

Dati n oggetti tutti diversi (A, B, C, …) la scrittura $D_{n,k}$ significa

In quanti modi diversi si possono elencare k oggetti?
Numero di disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta?
Numero di funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n?

Prova…

Oggetti	k = 1		k = 2		k = 3		k = 4
{A}	`A`	1
{A, B}	`A B`	2	`AB BA`	2
{A, B, C}	`A B C`	3	`AB AC BA BC CA CB`	6	`ABC ACB BAC BCA CAB CBA`	6
{A, B, C, D}	`A B C D`	4	`AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC`	12	`ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB`	24	`ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA`	24

Osserva

La 1° scelta può essere una tra n
La 2° scelta può essere una tra n-1 (1 è stata già utilizzata)
La 3° scelta può essere una tra n-2 (2 sono state già utilizzate)
…
La k-esima può essere una tra n-(k-1) (k-1 sono state già utilizzate)

Quindi: $\displaystyle D_{n,k} = n!(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)$

oppure: $\displaystyle D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$

n	k = 1		k = 2		k = 3		k = 4		k = 5
	$\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}$		$\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}$		$\displaystyle \frac{n!}{(n-3)!}$		$\displaystyle \frac{n!}{(n-4)!}$		$\displaystyle \frac{n!}{(n-5)!}$
1	$\displaystyle \frac{1!}{0!}$	= 1
2	$\displaystyle \frac{2!}{1!}$	= 2	$\displaystyle \frac{2!}{0!}$	= 2
3	$\displaystyle \frac{3!}{2!}$	= 3	$\displaystyle \frac{3!}{1!}$	= 6	$\displaystyle \frac{3!}{0!}$	= 6
4	$\displaystyle \frac{4!}{3!}$	= 4	$\displaystyle \frac{4!}{2!}$	= 12	$\displaystyle \frac{4!}{1!}$	= 24	$\displaystyle \frac{4!}{0!}$	= 24
5	$\displaystyle \frac{5!}{4!}$	= 5	$\displaystyle \frac{5!}{3!}$	= 20	$\displaystyle \frac{5!}{2!}$	= 60	$\displaystyle \frac{5!}{1!}$	= 120	$\displaystyle \frac{5!}{0!}$	= 120