Il gioco di fine millennio

Olimpiadi di Matematica – Gara a Squadre 2000 – Numero 19

Per festeggiare la fine del millennio al Casinò della Confederazione Matematica è stato organizzato un gioco a premi.
In una cesta ci sono 1000 gettoni numerati da 1001 a 2000.
Il gioco funziona così: pagata la quota di partecipazione, ogni giocatore punta su un numero intero e poi estrae dalla cesta due gettoni a caso (insieme).
Se la somma dei punteggi scritti sui gettoni è uguale al numero su cui il giocatore ha puntato, egli riceve un premio in lire pari al quadrato del numero su cui ha puntato, altrimenti perde la quota di partecipazione.

Le combinazioni sono 1000*999 = 999.000

Esito	Combinazioni	Numero di combinazioni	Probabilità		Premio	Premio*probabilità
2003	1.001 + 1.002 1.002 + 1.001	2	$\displaystyle \frac{2}{999.000}$	$\displaystyle \frac{1}{499.500}$	4.012.009	$\displaystyle \frac{4.012.009\cdot 1}{499.500}$	= 8,032…
2004	1.001 + 1.003 ~~1.002 + 1.002~~ 1.003 + 1.001	2	$\displaystyle \frac{2}{999.000}$	$\displaystyle \frac{1}{499.500}$	4.016.016	$\displaystyle \frac{4.016.016\cdot 1}{499.500}$	= 8,04…
…	…	…	…	…	…	…	= …
2999	1.001 + 1.998 1.002 + 1.997 … 1499 + 1.500 1500 + 1.499 … 1.998 + 1.001	998	$\displaystyle \frac{998}{999.000}$	$\displaystyle \frac{499}{499.500}$	8.994.001	$\displaystyle \frac{8.994.001\cdot 499}{499.500}$	= 8984,99…
3000	1.001 + 1.999 1.002 + 1.998 … 1.499 + 1501 ~~1.500 + 1500~~ 1.501 + 1.499 … 1.999 + 1.001	998	$\displaystyle \frac{998}{999.000}$	$\displaystyle \frac{499}{499.500}$	9.000.000	$\displaystyle \frac{9.000.000\cdot 499}{499.500}$	= 8990,99…
3001	1.001 + 2.000 1.002 + 1.999 … 1.500 + 1.501 1.501 + 1.500 … 2.000 + 1001	1000	$\displaystyle \frac{1.000}{999.000}$	$\displaystyle \frac{1}{999}$	9.006.001	$\displaystyle \frac{9.006.001\cdot 1}{999}$	= 9015,016…
3002	1.002 + 2.000 1.003 + 1.999 … 1.500 + 1.502 ~~1.501 + 1.501~~ 1.502 + 1.500 … 2.000 + 1.002	998	$\displaystyle \frac{998}{999.000}$	$\displaystyle \frac{499}{499.500}$	9.012.004	$\displaystyle \frac{9.012.004\cdot 499}{499.500}$	= 9002,98…
3003	1.003 + 2.000 1.004 + 1.999 … 1.501 + 1.502 1.502 + 1.501 … 2.000 + 1.003	998	$\displaystyle \frac{998}{999.000}$	$\displaystyle \frac{499}{499.500}$	9.018.009	$\displaystyle \frac{9.018.009\cdot 499}{499.500}$	= 9008,98…
…	…	…	…	…	…	…	= …
3998	1.998 + 2.000 ~~1.999 + 1.999~~ 2.000 + 1.998	2	$\displaystyle \frac{2}{999.000}$	$\displaystyle \frac{1}{499.500}$	15.984.004	$\displaystyle \frac{15.984.004\cdot 1}{499.500}$	= 32,000…
3999	1.999 + 2.000 2.000 + 1.999	2	$\displaystyle \frac{2}{999.000}$	$\displaystyle \frac{1}{499.500}$	15.992.001	$\displaystyle \frac{15.992.001\cdot 1}{499.500}$	= 32,016…
		999.000	1

La probabilità più alta di ottenere una vincita, 1/999, si ha in corrispondenza del valore 3001
La vincita media corrispondente è 9015,016…