OIS 2020 – III/IV – Quesito 18

di

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 1000 lampade con il 10% di esse difettose, B ne contiene 1500 con il 15% difettose e C ne contiene 500 con il 5% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.

Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

Osserva la figura

Calcola

p(D)= p(A e D oppure B e D oppure C e D)
= p(A e D) + p(B e D) + p(C e D)
= p(A) · p(D | A) + p(B) · p(D | B) + p(C) · p(D | C)		Una lampada su 10 risulterà difettosa
= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{10}{100} + \frac{1}{3}\cdot \frac{15}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{100} = \displaystyle \frac{10}{300} + \frac{15}{300}+\frac{5}{300} = \displaystyle \frac{30}{300} = \displaystyle \frac{10}{100} = 0,1 = 10%
p(\overline{D})…Per controllo…
= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{90}{100} + \frac{1}{3}\cdot \frac{85}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{95}{100} = \displaystyle \frac{90}{300} + \frac{85}{300}+\frac{95}{300} = \displaystyle \frac{270}{300} = \displaystyle \frac{90}{100} = 0,9 = 90%

Esercizio

Se le lampadine fossero tutte mescolate in un’unica scatola?

  • #(L) = #(A) + #(B) + #(B) = 1000 + 1500 + 500 = 3000
  • #(D) = 10% · #(A) + 15% · #(B) + 5% · #(B) = \displaystyle \frac{10}{100}\cdot 1000 + \frac{15}{100}\cdot 1500 + \frac{5}{100}\cdot 500 = 100 + 225 + 25 = 350
  • p(D) = #(D) / #(L) = \displaystyle \frac{350}{3000} = \frac{7}{60} = 0,1166… = 11,66… %