Probabilità – Definizioni

di

Eventi

  • Evento certo, S
  • Evento impossibile, ∅
  • Evento casuale, aleatorio
  • Evento unione, A ∪ B, se si verifica almeno uno dei due
  • Evento intersezione, A ∩ B, se si verificano entrambi
  • Evento complementare, contrario, negazione, \displaystyle \overline{A}, se non si verifica A
  • Eventi compatibili, \displaystyle {A}\cap {B}\ \neq \ \oslash
  • Eventi incompatibili, \displaystyle {A}\cap {B}\ = \ \oslash
  • Evento unico, singolo
  • Evento ripetibile

Proprietà

  • Commutativa
    • A ∪ B = B ∪ A
    • A ∩ B = B ∩ A
  • Associativa
    • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
    • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
  • Distributiva
    • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
    • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • di Idempotenza
    • A ∪ A = A
    • A ∩ A = A
  • di De Morgan
    • \displaystyle \overline{A \cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}
    • \displaystyle \overline{A \cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}
  • della Complementarietà
    • \displaystyle {A}\cup \overline{A} = S
    • \displaystyle {A}\cap \overline{A} = \oslash

Frequenza

  • Frequenza assoluta: numero di volte che compare il dato
    • 0 ≤ f ≤ n
  • Frequenza relativa: rapporto tra numero di successi e numero di prove
    • \displaystyle f_r=\frac{f}{n}
    • 0 ≤ f ≤ 1
  • Frequenza percentuale: frequenza relativa moltiplicata per 100
    • \displaystyle f_%=f_r\cdot 100
  • Frequenza cumulata: somma delle frequenze assolute fino alla classe c
    • \displaystyle f_c=\sum_{i=1}^c f_i
    • \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i=n

Definizione classica di probabilità

  • \displaystyle p(E)=\frac{m}{n}
  • Evento impossibile, m=0, p(E)=0
  • Evento certo, m=n, p(E)=1
  • Evento aleatorio, 0 < m < n, 0 < p(E) < 1
  • In generale, 0 ≤ p(E) ≤ 1

Definizione frequentista di probabilità

  • Legge empirica del caso
    Se si eseguono un gran numero di prove la frequenza di un evento assume valori prossimi alla sua probabilità.
    L’approssimazione cresce al crescere del numero di prove.
    • \displaystyle \frac{m}{n}\approx p
    • \displaystyle m\approx np
  • La probabilità di un evento è la sua frequenza, calcolata su un numero molto grande di prove.

Definizione soggettivista di probabilità

  • s= somma pagata per vincere un euro se si verifica un evento
  • p=probabilità dell’evento
  • n=numero giocate
  • Gioco equo: ns=np, s=p
  • La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale ritiene equo pagare per ricevere un euro al verificarsi dell’evento.
  • S=somma se si verifica un evento
  • \displaystyle p=\frac{s}{S}

Teoria assiomatica della probabilità

  • S = spazio dei risultato
  • Ω = spazio degli eventi
  • p : Ω → R, p(s) = x

Assiomi

  • S ∈ Ω
  • A ∈ Ω, B ∈ Ω ⇒ A ∪ B ∈ Ω
  • A ∈ Ω, B ∈ Ω ⇒ A ∩ B ∈ Ω
  • A ∈ Ω ⇒ \displaystyle \overline{A} ∈ Ω
  • E ∈ Ω ⇒ p(E) ≥ 1
  • p(S) = 1
  • A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A)+p(B)

Teoremi

  • ∅ ∈ Ω
  • p(∅) = 0
  • 0 ≤ p(E) ≤ 1
  • …
  • A ∩ B = ∅ ⇔ p(A ∪ B) = p(A)+p(B)
  • A ∩ B ≠ ∅ ⇔ p(A ∪ B) = p(A)+p(B)-p(A ∩ B)
  • p(A ∪ B ∪ C) = p[A ∪ (B ∪ C)] = p(A)+p(B ∪ C)-p[A ∩ (B ∪ C)]