Probabilità – Teoremi

di

Probabilità totale

  • A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
  • p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
  • \displaystyle p(A|B), probabilità di A condizionata da B, probabilità che si verifichi A nell’ipotesi del verificarsi di B
  • \displaystyle p(\overline{A})=1-p(A)
  • A e B eventi indipendenti
    • \displaystyle p(A|B)=p(A|\overline{B})
    • p(A|B) = p(A)
  • A e B eventi dipendenti
    • \displaystyle p(A|B)\ \neq \ p(A|\overline{B})
    • p(A|B) ≠ p(A)
  • \displaystyle p(A|B)=p(A|\overline{B}) \displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle p(B|A)=p(B|\overline{A})

Probabilità composta

  • A e B eventi indipendenti \displaystyle \Leftrightarrow p(A ∩ B) = p(A)·p(B)
  • A e B eventi dipendenti
    • p(A ∩ B) = p(A)·p(B|A)
    • p(A ∩ B) = p(B)·p(A|B)
  • \displaystyle p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}

Formula di Bayes

  • A1, A2, …, An, eventi incompatibili, una partizione di S
  • p(E) = p(A1)·p(E|A1)+…+p(An)·p(E|An) = \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^n p(A_i)\cdot p(E|A_i)
  • \displaystyle p(A_i|E)=\frac{p(A_i\cap E)}{p(E)}=\frac{p(A_i)\cdot p(E|A_i)}{p(E)}=\frac{p(A_i)\cdot p(E|A_i)}{ \displaystyle \sum_{i=1}^n p(A_i)\cdot p(E|A_i)}