QUESITI – Numeri di Fibonacci

di

Proprietà 1

L’ennesimo numero di Fibonacci è uguale alla somma dei primi n-2 numeri più 1

\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n-2} f(i) +1, n > 2

n\displaystyle \sum_{i=1}^{n-2} f(i)f(n)
11
21
31= 11+1= 2
41+1
= 22+1= 3
51+1+2= 44+1= 5
61+1+2+3= 77+1= 8
71+1+2+3+5= 1212+1= 13
………

Proprietà 2

Il rapporto tra due numeri consecutivi, per n molto grande, è uguale al suo reciproco più 1 (hanno le stesse cifre dopo la virgola!)

\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)} = \displaystyle \frac{f(n-1)+f(n-2)}{f(n-1)} = \displaystyle 1+ \frac{f(n-2)}{f(n-1)}, per ogni n>2

Per n molto grande

\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)} = \displaystyle \frac{f(n-1)}{f(n)}+1

nf(n)\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)}\displaystyle \frac{f(n-1)}{f(n)}
11  
211/1= 11/1= 1
322/1= 21/2= 0,5
433/2= 1,5= 1+0,52/3= 0,66…
555/3= 1,66…= 1+0,66…3/5= 0,6
688/5= 1,6= 1+0,65/8= 0,625
71313/8= 1,625= 1+0,6258/13= 0,615…
………………
………= 1,61803…= 1+0,61803……= 0,61803…

OII 17-11-2016 – 3

La successione di Fibonacci, i cui primi numeri sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … si ottiene in base alla seguente definizione ricorsiva:

Fib(1)=1
Fib(2)=1
Fib(n)=Fib(n-2)+Fib(n-1), per n>2

Si consideri invece la successione 1, 2, 8, 28, 100, Z ottenuta in base alla seguente definizione ricorsiva:

Gib(1)=1
Gib(2)=2
Gib(n)=X×Gib(n-2)+Y×Gib(n-1), per n>2

Quanto valgono X, Y, Z?

SOLUZIONE

A = 2
B = 3

Gib(1) = 1
Gib(2) = 2
Gib(3) = 2×1 + 3*2 = 2 + 6 = 8
Gib(4) = 2×2 + 3×8 =4 + 24 = 28
Gib(5) = 2×8 + 3×28 = 16 + 84 = 100
Gib(5) = 2×28 + 3×100 = 56 + 300 = 356

X = 2
Y = 3
Z = 356

OII 23-02-2021 – 3

La successione di Fibonacci, i cui primi numeri sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … si ottiene in base alla seguente definizione ricorsiva:

Fib(1)=1
Fib(2)=1
Fib(n)=Fib(n-2)+Fib(n-1), se n maggiore di 2

Si consideri invece la successione 1, 2, 8, 28, C ottenuta in base alla seguente definizione ricorsiva:

Gib(1)=1
Gib(2)=2
Gib(n)=A×Gib(n-2)+B×Gib(n-1), se n maggiore di 2

A, B e C sono numeri di cui dovete desumere il valore.
Quanto vale C?

SOLUZIONE

A = 2
B = 3

Gib(1) = 1
Gib(2) = 2
Gib(3) = 2×1 + 3*2 = 2 + 6 = 8
Gib(4) = 2×2 + 3×8 =4 + 24 = 28
Gib(5) = 2×8 + 3×28 = 16 + 84 = 100