OII 2015-11-18

di

1

In un negozio di vestiti la gestione economica dei dipendenti si svolge così: metà delle entrate va alla responsabile Sara ed il restante viene diviso a metà tra le due dipendenti Francesca ed Elena.
Un giorno entra in negozio uno studente di Matematica (tutti sanno che i matematici sbagliano i conti) e, chiacchierando con Elena, viene a sapere della loro gestione economica.
Il giovane matematico va a parlare con la responsabile e le suggerisce un modo alternativo per fare lo stesso conto: dividere le entrate per tre ogni mese, così da diminuire il numero di divisioni.

Cosa si pensa di questa scelta?

  1. Lo studente è innamorato di Elena e vuole conquistarla aumentandole lo stipendio
  2. Lo studente ha fornito una soluzione più veloce per fare gli stessi conti
  3. La soluzione fornita dallo studente fa guadagnare un quarto in meno la responsabile
  4. La soluzione fornita dallo studente fa guadagnare un quarto in più le dipendenti…

2

È appena uscita la nuova edizione della “Guida alle selezioni territoriali”.
Sapendo che la prima pagina non ha il numero (come tradizione per tutti i libri) e che la somma di tutti i numeri di pagina del libro vale 1595, quante sono le pagine del libro?

  1. 56
  2. 63
  3. 44
  4. 72

SOLUZIONE

  • 2+… + n = 1595
  • 1+2+… + n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}
  • 1+1595 = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}
  • …
  • n = 56

3

Al consiglio di classe della IIA del Liceo classico Lenzuolini nel paese di Materasso Alto la coordinatrice Giovanna si trova costretta a raccontare la verità ai rappresentanti dei genitori: Marilena e Carlo.
Il gatto Jaspers si è mangiato i fogli su cui erano scritti i dati dei ragazzi e lei è riuscita a strappargli dalla bocca solo una parte dei dati, che sono i seguenti:

  • i ragazzi della IIA sono 23;
  • i ragazzi che hanno l’insufficienza sia in latino sia in matematica sono 10;
  • i ragazzi che hanno l’insufficienza sia in greco sia in matematica sono 7;
  • non ci sono ragazzi che hanno tre materie insufficienti.

Si è in grado di dare un suggerimento a Marilena e Carlo e dire quanti sono i ragazzi che hanno l’insufficienza in matematica?

  1. Esattamente 17
  2. Esattamente 3
  3. Almeno 17
  4. Il gatto Jaspers ha mangiato troppi fogli per poter dire qualcosa.

4

Si sa che

  • 11 × 11 = 121
  • 111 × 111 = 12.321

e così via.

Come è il numero il cui quadrato è 12.345.678.987.654.321?

  1. Compreso tra 107 e 108
  2. Uguale a 11.111.111
  3. Compreso tra 108 e 109
  4. Maggiore di 109.

5 <–

Gelsomina, la nonna di Francesco, decide di proporre al nipote un gioco di carte.
Crea un mazzo formato da 4 re (K), 4 donne (Q) e 4 fanti (J), le mescola bene bene e distribuisce le 12 carte coperte in fila.

Poi ne scopre 4, nel seguente modo:

Quindi dice a Francesco che, secondo lei:

  1. la probabilità che la prima carta sia un fante è del 25%
  2. la probabilità che la penultima carta sia una donna è del 25%
  3. la probabilità che la penultima carta sia un re è del 37,5%
  4. è più probabile che la terza carta sia un re che un fante.

Ma nonna Gelsomina sta segretamente interrogando Francesco in matematica, dietro consiglio della figlia Gardenia, e ha detto una cosa falsa.

Si chiede di aiutare Francesco a decidere quale delle seguenti affermazioni è vera.

  1. Non ci sono affermazioni false e nonna Gelsomina è brava con le probabilità
  2. L’affermazione (4) è falsa
  3. L’affermazione (3) è falsa
  4. L’affermazione (2) è falsa.

13

Luca deve cuocere tre orate. Per cuocere un’orata ci vogliono 10 minuti: 5 minuti per lato. La griglia di Luca ha spazio per due orate insieme.

Qual è il tempo minimo necessario per cuocere le tre orate?

  1. 15 minuti
  2. 20 minuti
  3. 17 minuti e mezzo
  4. 12 minuti e mezzo.

14

La famiglia De Canguris è andata in vacanza a Roma, ma il piccolo Tasca fa impazzire i suoi genitori come sempre: ruba gelati ai bambini, litiga con le sorelline, fa boccacce alla nonna, tira calci alle guardie del Colosseo… Insomma, è proprio un malandrino!

Mamma e papà lo hanno messo in punizione, ma lui ha deciso di far loro un ultimo dispetto: si è rintanato in un angolo della hall dell’hotel Macropodidae e non ne vuole sapere di riconsegnare il gelato al bambino in fondo alla sala.

Serve trovare un modo per aiutare mamma e papà canguro a far andare Tasca dal bambino. La soluzione deve essere espressa indicando la coordinata della prima mossa che si intende far fare a Tasca, indicando la casella di destinazione nella forma L(ettera)n(umero).

2015-14

Come mostrato nella figura, Tasca si trova in A1.

Le mosse sono così definite:

  • indietro n lascia invariata la lettera della coordinata e decrementa il numero di n, purché il risultato si compreso tra A1 e G7, estremi inclusi;
  • avanti n lascia invariata la lettera della coordinata e incrementa il numero di n, purché il risultato sia compreso tra A1 e G7, estremi inclusi;
  • diagonale n aumenta lettera e numero della coordinata di n, purché il risultato sia compreso tra A1 e G7, estremi inclusi;
  • lato n incrementa o decrementa la lettera della coordinata di n, purché il risultato sia compreso tra A1 e G7, estremi inclusi.

Si tenga presente che:

  • Tasca, se non viene spinto, si muoverà indietro 1, ma può balzare in una qualunque casella una sola volta, all’inizio, purché questa mossa lo porti a dare noia a una sorellina;
  • la mamma e la zia lo spingono avanti 2;
  • il papà lo spinge diagonale 2;
  • la nonna lo spinge lato 1 e avanti 3;
  • le sorelline lo spingono lato 1;
  • le guardie del Colosseo lo fanno tornare indietro 2;
  • i gelati lo fanno tornare al punto di partenza, ossia in A1.

15

Nonna Gelsomina nel weekend ospita tutti e tre i nipoti a dormire da lei, per una sessione intensiva di matematica. Stavolta Francesco e Nicola hanno litigato e non vogliono dormire vicini tra loro e Mirko, come sempre, non vuole stare vicino alla porta, perché ha il sonno leggero e il nonno russa troppo forte.

La stanza è attualmente sistemata nel modo seguente:

2015-15

Nonna Gelsomina deve spostare da sola i cuscini da un letto ad un altro, in modo da assicurare ai ragazzi la configurazione che hanno scelto, ma c’è un problema: la nonnina ha la sciatica e si muove solo verso destra o verso sinistra e in più detesta cambiare senso di marcia (se la direzione era destra–>sinistra cambiare in sinistra–>destra) perché sente molto male. Nonna Gelsomina entra nella stanza dalla porta e può tenere in mano solo un cuscino alla volta, perché ha anche il mal di schiena (passa troppo tempo a far studiare i nipoti…). Non vuole lasciare neanche per un attimo due cuscini sullo stesso letto (è maniaca dell’ordine…) e ha un panchetto sotto la finestra sul quale può appoggiare un solo cuscino alla volta.

Qual è il minimo numero di cambi di direzione che deve fare per riuscire nell’impresa?

16

Per descrivere un algoritmo, possiamo utilizzare uno pseudo-linguaggio di programmazione, dove il simbolo ← rappresenta l’istruzione che impone di “assegnare al nome simbolico che lo precede il valore calcolato dall’espressione che lo segue” (per esempio: i ← i + 1 significa “incrementa di 1 il valore associato al nome simbolico i e associa ad i il valore incrementato”. Se ad i era associato il valore 5, dopo l’esecuzione dell’istruzione ad i sarà associato il valore 6).

Si consideri il seguente algoritmo

testa ← 0
croce ← 1
t_consecutivi ← 0
c_consecutivi ← 0
i ← 0
mentre "condizione" è vera esegui ripetutamente
   da qui
      x ← esito_lancio_moneta
      se x=testa esegui
         da qui
            t_consecutivi ← t_consecutivi + 1
            c_consecutivi ← 0
         a qui
     altrimenti esegui
         da qui
            t_consecutivi ← 0
            c_consecutivi ← c_consecutivi + 1
         a qui
     "istruzione"
   a qui
scrivi su video i

Scegliere la “condizione” e l’“istruzione” mancanti nell’algoritmo in modo che restituisca il minimo numero di lanci di moneta che sono stati necessari per ottenere una sequenza di almeno cinque esiti consecutivi uguali.

  1. condizione: t_consecutivi < 5 AND c_consecutivi < 5
    istruzione: i ← i + 1
  2. condizione: t_consecutivi < 5 AND c_consecutivi < 5
    istruzione: testa ← testa + 1
  3. condizione: t_consecutivi ≤ 5 AND c_consecutivi ≤ 5
    istruzione: i ← i + 1
  4. condizione: t_consecutivi < 5 AND c_consecutivi ≤ 5
    istruzione: i ← i + 1

17

2015-17

Nel mondo di Flatlandia gli abitanti sono figure bidimensionali e definiscono l’amicizia legandosi tra loro come segue:

  • un abitante di Flatlandia A si definisce amico di B se è unito a lui tramite una sola corda, inoltre la massa delle corde, scritta sopra di esse, determina il grado di amicizia tra i due abitanti
  • un abitante di Flatlandia si dice “simpiattico” se è legato ad almeno quattro altri abitanti con una corda o è attaccato ad altri abitanti “simpiattici” con corde molto pesanti (di massa superiore a 50kg).

Questo è il grafo dell’amicizia del paese di Quadrata:

Chi sono gli abitanti “simpiattici”?

  1. A, C, D, F
  2. A, C, D, F, H
  3. A, C, F, G, H
  4. A, C, D, F, G, H.

18

C’era una volta un boschetto, vicino al castello della regina cattiva, dove vivevano otto simpatici nani: Dotto, Brontolo, Gongolo, Pisolo, Mammolo, Eolo, Cucciolo e Occhiolo. Ebbene sì, erano otto un tempo e l’ultimo era il più bello (per gli standard dei nani, s’intende). Occhiolo infatti aveva due immensi occhioni azzurri, con i quali incantava tutte le ninfe del bosco. Occhiolo però amava fare il funambolo e questo, come tutti sanno, è un hobby pericoloso. Una volta decise di percorrere con Mammolo, Gongolo ed Eolo un lungo ramo di edera, che collegava la loro casetta con una grotta incantata. Per percorrere l’intero tragitto Mammolo ci mise 2 minuti, Eolo 5, Gongolo 10 e Occhiolo (naturalmente…) uno solo. Arrivati alla grotta incantata, però, trovarono la regina cattiva che li aspettava per un’imboscata. La megera decise di rendere il percorso di ritorno più difficile, stregando il ramo con il seguente maleficio: i nani avrebbero potuto ripercorrere il ramo solo portando con sé la mela avvelenata (data loro dalla regina per Biancaneve): il ramo non avrebbe retto più di due nani per volta, e si sarebbe rotto immediatamente se i nani avessero tentato di percorrerlo senza mela. È chiaro che quando due nani attraversano il ramo insieme con la mela, gli stessi procedono alla velocità del più lento dei due. L’attraversamento del ramo diventa quindi complicato: due nani possono passare con la mela, ma poi uno dei nani che ha già passato il ramo dovrà tornare indietro con la mela, per consentire il passaggio di un’altra coppia.

Qual è, in minuti, il minimo tempo necessario perché i 4 nani possano percorrere il ramo e tornare a casa?

19 <–

La grafica della tartaruga prevede che si possano impartire degli ordini di movimento a una tartaruga, che li eseguirà lasciando sul terreno una traccia dei suoi movimenti, come se avesse una penna attaccata sulla pancia.

Gli ordini possono essere impartiti tramite un semplice linguaggio, stando attenti che:

  • l’istruzione avanti passi fa compiere alla tartaruga il numero di passi specificato nella direzione dell’orientamento attuale della tartaruga;
  • le istruzioni destra e sinistra ruotano rispettivamente in senso orario e in senso antiorario l’orientamento attuale della tartaruga, e il numero che segue è un angolo espresso in gradi;
  • pennasu e pennagiu sollevano e abbassano rispettivamente la penna sotto la pancia della tartaruga: quando la penna è sollevata ovviamente non lascia tracce sul terreno;
  • l’istruzione ripeti fa ripetere il blocco che segue, delimitato da parentesi graffe, per un numero di volte indicato a fianco dell’istruzione.

Si vuole ottenere questo “punto interrogativo tartaruga” (inizialmente la tartaruga ha la penna abbassata e guarda verso l’alto):

Si consideri il seguente codice, si individui l’errore che impedisce di ottenere il risultato voluto e lo si riporti nella seguente forma:

RIGa_di_codice, NUMero_SBagliato, NUMero_CORRetto).

I numeri di riga sono mostrati tra parentesi quadre all’inizio di ogni riga.

[01] lato = 32
[02] sinistra 90
[03] avanti lato
[04] destra 90
[05] avanti lato
[06] ripeti 5
[07] {
[08]    destra 90
[09]    lato = lato*2
[10]    avanti lato
[11]    destra 90
[12]    avanti lato
[13] }
[14] destra 90
[15] avanti lato/2
[16] lato = 64
[17] ripeti 7
[18] {
[19]    sinistra 90
[20]    avanti lato
[21]    sinistra 90
[22]    avanti lato
[23]    lato = lato/2
[24] }
[25] pennasu
[26] avanti 2*lato
[27] destra 90
[28] avanti 2*lato + 64
[29] destra 90
[30] lato = 64
[31] pennagiu
[32] avanti lato
[33] ripeti 3
[34] {
[35]    sinistra 90
[36]    avanti lato
[37] }

20 <–

Data la seguente piramide di numeri, definiamo una discesa come “una sequenza di numeri ottenuti partendo dalla cima della piramide e passando per uno dei due numeri sottostanti, fino a giungere alla base della piramide”. Inoltre, il valore di una discesa è la somma dei numeri della discesa.

oii-2015-20

Nell’esempio, in corsivo grassetto è mostrata la discesa ottenuta partendo dalla cima e scendendo prima a sinistra, poi a destra e poi sempre a sinistra fino alla base.

I numeri di questa discesa sono (42,11,37,8,27,8) e la loro somma vale 133, che è il valore di questa discesa. Se all’ultimo passo fossimo andati a destra la discesa sarebbe stata (42,11,37,8,27,9), con un valore pari a 134. Nella piramide ci sono discese che valgono di più di 134.

Qual è il valore massimo MAX che si riesce a trovare in questa piramide?

E qual è il valore minimo MIN?

Risposte ufficiali