Esame di Stato 2013 PNI – 7

di

In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri.
Dal gruppo si selezionano a caso due persone.
Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia gli occhi azzurri?

Osserva

  • Le persone con gli occhi azzurri sono 6
  • Le persone che non hanno gli occhi azzurri sono 4

Soluzione 1

  • Numero di coppie ordinate, selezionando 2 su 4: \displaystyle {4 \choose 2} = \displaystyle \frac{4!}{2!2!} = 6
  • Numero di coppie ordinate, selezionando 2 su 10: \displaystyle {10 \choose 2} = \displaystyle \frac{10!}{2!8!} = 45
  • Probabilità “due persone che non hanno gli occhi azzurri”: p = \displaystyle \frac{{4 \choose 2}}{{10 \choose 2}} =\displaystyle \frac{6}{45} = \displaystyle \frac{2}{15} = 13,3… %

Soluzione 2

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| Tutti             | A  B  C  D  E  F  g  h  i  j       | 10 |
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| Occhi azzurri     | A  B  C  D  E  F                   |  6 |
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| Occhi non azzurri | g  h  i  j                         |  4 |
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| Coppie ordinate   | AB  AC  AD  AE  AF  Ag  Ah  Ai  Aj | 45 |
|                   | BC  BD  BE  BF  Bg  Bh  Bi  Bj     |    |
|                   | CD  CE  CF  Cg  Ch  Ci  Cj         |    |
|                   | DE  DF  Dg  Dh  Di  Dj             |    |
|                   | EF  Eg  Eh  Ei  Ej                 |    |
|                   | Fg  Fh  Fi  Fj                     |    |
|                   | gh  gi  gj                         |    |
|                   | hi  hj                             |    |
|                   | ij                                 |    |
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| Coppie ordinate   | gh  gi  gj  hi  hj  ij             |  6 |
| non azzurri       |                                    |    |
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Soluzione 3

Calcola la probabilità di “estrarre” due persone che non abbiano gli occhi azzurri

  • p(A1) = \displaystyle \frac{4}{10}
  • p(A1 ∩ A2) = p(A1)·p(A2 | A1) = \displaystyle \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} = …