Esame di Stato 2014 – 5

05/07/202611/02/2017 di admin

Dei numeri 1, 2, 3, …, 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5?

Soluzione 1

Utilizza la forza bruta

Scrivi i numeri da 1 a 6000
Elimina i multipli di 2
Elimina i multipli di 3
Elimina i multipli di 5
Conta i numeri rimanenti.

Soluzione 2

Ricorda che

Se $\displaystyle X \cap Y = \emptyset$ allora $\displaystyle \sharp(X \cup Y) = \sharp(X) + \sharp(Y)$ altrimenti $\displaystyle \sharp(X \cup Y) = \sharp(X) + \sharp(Y) - \sharp(X \cap Y)$
Se $\displaystyle Y \subseteq X$ allora $\displaystyle \sharp(X \setminus Y) = \sharp(X) - \sharp(Y)$ altrimenti $\displaystyle \sharp(X \setminus Y) = \sharp(X) - \sharp(X \cap Y)$

Osserva l’immagine a destra

#(M2 ∪ M3) = #(M2) + #(M3) – #(M6)
#(M2 ∪ M5) = #(M2) + #(M5) – #(M10)
#(M3 ∪ M5) = #(M3) + #(M5) – #(M15)
#(M6 ∪ M10) = #(M6) + #(M10) – #(M30)
#(M6 ∪ M15) = #(M6) + #(M15) – #(M30)
#(M10 ∪ M15) = #(M10) + #(M15) – #(M30)
#(M6 ∪ M10 ∪ M15) = #(M6) + #(M10) + #(M15) – 2 * #(M30)
#(M2 ∪ M3 ∪ M5) = #(M2) + #(M3) + #(M5) – #(M6) – #(M10) – #(M15) + #(M30)

È necessario calcolare la cardinalità di tutti gli insiemi nella tabella

Insieme	Elementi	Cardinalità
$\Omega$	1, 2, 3, 4, …, 6000	#( $\Omega$ )	= 6000
M2	2, 4, 6, 8, …, 6000	#(M2)	= 3000
M3	3, 6, 9, 12, …, 6000	#(M3)	= 2000
M5	5, 10, 15, 20, …, 6000	#(M5)	= 1200
M6 = M2 ∩ M3	6, 12, 18, 24, …, 6000	#(M6)	= 1000
M10 = M2 ∩ M5	10, 20, 30, 40, …, 6000	#(M10)	= 600
M15 = M3 ∩ M5	15, 30, 45, 60, …, 6000	#(M15)	= 400
M30 = M2 ∩ M3 ∩ M5	30, 60, 90, 120, …, 6000	#(M30)	= 200

Quindi

Insieme	Elementi	Cardinalità
M2 ∪ M3 ∪ M5	2, 3, 4, 5, …, 6000	#(M2 ∪ M3 ∪ M5)	= 3000 + 2000 + 1200 – 1000 – 600 – 400 + 200 = 4400
$\Omega$ \ (M2 ∪ M3 ∪ M5)	1, 7, 11, 13, …	#( $\Omega$ \ (M2 ∪ M3 ∪ M5))	= 6000 – 4400 = 1600