Esame di Stato 2001 PNI – 2

11/01/202511/02/2017 di admin

Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione $\displaystyle xe^x+xe^{-x}-2=0$ .

Studia gli zeri della funzione $\displaystyle f(x) = xe^x+xe^{-x}-2$

Esistenza

$\displaystyle f(x)$ continua in R
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Teorema degli zeri: esiste almeno uno zero in R

Unicità?

$\displaystyle f\prime(x)=xe^x-xe^{-x}+e^x+e^{-x}$
$\displaystyle f\prime(x)= f\prime(-x)$
$xe^x > xe^{-x}$ per $x > 0$
$\displaystyle f\prime(x) > 0$ in R
$\displaystyle f(x)$ crescente in R
Un solo zero in R

Approssimazione

$\displaystyle f(0)=-2$
$\displaystyle f(1)=e+\frac{1}{e}-2\ > \ 0$
Teorema degli zeri: esiste $\displaystyle x_0\in (0,\ 1)$ tale che $\displaystyle f(x_0)=0$ .