Esame di Stato 2002 – 7

di

Data la funzione f(x) = e^x-\sin(x)-3 x calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.

Calcolare limiti per x che tende a +∞ e -∞

Osserva

-1 \le -\sin(x) \le +1

e^x-1 \le e^x -\sin(x) \le e^x +1

e^x -1 -3 x \le e^x -\sin(x) -3 x\le e^x +1 -3x

f_1(x) \le f(x) \le f_2(x)

Calcolo

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f_1(x)= +\infty
  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f_2(x) = +\infty
  • Quindi \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty
  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f_1(x) = +\infty
  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f_2(x) = +\infty
  • Quindi \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty

Provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla

  • f(x), continua in R
  • f(0)=1
  • f(1)=e-\sin(1)-3
    • 2 < e < 3
    • -1 < e-3 < 0
    • \displaystyle 0 <1 < \frac{\pi}{2}
    • 0 < \sin(1)< 1
    • f(1) < 0
  • Teorema degli zeri: esiste α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.