Esame di Stato 2002 – 7

Data la funzione $f(x) = e^x-\sin(x)-3 x$ calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.

Calcolare limiti per x che tende a +∞ e -∞

Osserva

$-1 \le -\sin(x) \le +1$

$e^x-1 \le e^x -\sin(x) \le e^x +1$

$e^x -1 -3 x \le e^x -\sin(x) -3 x\le e^x +1 -3x$

$f_1(x) \le f(x) \le f_2(x)$

Calcolo

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f_1(x)= +\infty$ , $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f_2(x) = +\infty$ quindi $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f_1(x) = +\infty$ , $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f_2(x) = +\infty$ quindi $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$

Provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla

$f(x)$ , continua in R
$f(0)=1$
- $2 < e < 3$ , $-1 < e-3 < 0$
- $\displaystyle 0 <1 < \frac{\pi}{2}$ , $0 < \sin(1)< 1$ , $-1 < -\sin(1)< 0$
- $f(1) < 0$
Teorema degli zeri: esiste α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.