Esame di Stato 2004 PNI – 9

Si dimostri che l’equazione $e^x +3 x = 0$ ammette una e una solo soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

Esame di Stato 2004 – 4

Dimostrate che l’equazione $e^x +3 x = 0$ ammette una e una sola soluzione reale.

Studia gli zeri della funzione $f(x) = e^x +3 x$

Esistenza

$f(x)$ continua in R
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
Teorema degli zeri: esiste almeno uno zero in R

Unicità

$f'(x) = e^x + 3$
$f'(x) > 0$ in R
$f(x)$ crescente in R
Lo zero è unico

L’equazione ammetta una e una sola soluzione reale in R.

Approssimazione

Se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

$f(0) = 1 > 0$
$\displaystyle f(-1) = \frac{1}{e}-3 < 0$ , perché $e > 1$ , $\displaystyle \frac{1}{e} < 1$ , …
Teorema degli zeri: uno zero per $x \in (-1, 0)$