Esame di Stato 2003 PNI – 10

Verificare che l’equazione $\displaystyle x^3 -3 x +1 = 0$ ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Sia

f(x) = $\displaystyle x^3 -3 x +1$

Osserva

f(x) continua…
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ , almeno uno zero
$\displaystyle f\prime(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$
$\displaystyle f\prime(x)=0$ per $\displaystyle x=\pm1$ , due punti notevoli
f(-1) = +3
f(+1) = -1, punti notevoli discordi
f(-2) = -1
f(-1) = +3, segni discordi in [-2, -1], almeno uno zero in (-2, -1)
f(+1) = -1, segni discordi in [-1, +1], almeno uno zero in (-1, +1)
f(+2) = +3, segni discordi in [+1, +2], almeno uno zero in (+1, +2)

Se ne calcoli…