Compleanni coincidenti – 1

di

Considera la probabilità dei due eventi complementari al crescere di n (il numero di persone)

  • p(“No”) = p(“nessuna coppia di compleanni coincidenti”)
  • p(“Sì”) = p(“almeno una coppia di compleanni coincidenti”)

Osserva

  • n=2: La prima persona fa il compleanno in un giorno qualsiasi.
    Per la seconda persona rimangono 364 giorni su 365.
  • n=3: La prima persona fa il compleanno in un giorno qualsiasi.
    Per la seconda persona rimangono 364 giorni su 365.
    Per la terza persona rimangono 363 giorni su 365.
  • n=4: …
    …
    Per la quarta persona rimangono 362 giorni su 365.
  • …
np(“No”)p(“Sì”)
0= 1= 0
1= 1= 0
2= \displaystyle \frac{364}{365}= \displaystyle 1-\frac{364}{365} ~ 0.00274
3= \displaystyle \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}= \displaystyle \frac{364\cdot363}{365^2}= \displaystyle 1-\frac{364\cdot363}{365^2} ~ 0.00820
4= \displaystyle \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365}= \displaystyle \frac{364\cdot 363\cdot 362}{365^3}= \displaystyle 1-\frac{364\cdot363\cdot362}{365^3} ~ 0,01636
………
n\ge 3= \displaystyle \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\dots \frac{365-(n-1)}{365}= \displaystyle \frac{364\cdot 363\dots [365-(n-1)]}{365^{n-1}}= \displaystyle 1-\frac{364\cdot 363\dots [365-(n-1)]}{365^{n-1}}

Per ogni persona che si aggiunge si moltiplica la probabilità precedente per il rapporto tra il numero di giorni rimasti disponibili (365-n+1) e il numero di giorni in un anno (365).