Determinante, con la regola di Sarrus

Il metodo di Sarrus fornisce un metodo facile da ricordare per il calcolo del determinante delle matrici 3×3

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Considera la matrice che si ottiene aggiungendo a destra due colonne uguali alle prime due

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$

Calcola separatamente la somma dei 3 prodotti degli elementi delle 3 diagonali principali e delle 3 diagonali secondarie

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & - & -\\- & a_{22} & a_{23} & a_{21} & -\\- & - & a_{33} & a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$

$S_1 = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}- & - & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\- & a_{22} & a_{23} & a_{21} & -\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & - & -\end{bmatrix}$

$S_2 = a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$

Calcola la differenza tra le due somme precedenti

$\displaystyle |A| = S_1-S_2$

Quindi

$\displaystyle |A|$ = $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$