Proprietà del determinante

Proprietà del determinante

|A^T| = |A|

Il determinante della trasposta non cambia

|A \cdot B| = |A| \cdot |B|

Il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti

|I| = 1

La matrice identità ha determinante uguale a uno.

Ancora

  1. Se si scambiano tra loro due righe il determinante cambia di segno.
  2. Se si moltiplica una riga per una costante anche il determinante sarà moltiplicato per la costante.
  3. Se a una riga viene sommato un multiplo di un’altra riga il determinante non cambia.
  4. Una matrice è non singolare se il determinante non è nullo.

Matrice triangolare

Il determinante della matrice diagonale (triangolare) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale: |A| = \prod_i a_{ii}.

Applicando alla matrice A l’eliminazione di Gauss si ottiene una matrice triangolare superiore T e il determinante di A è uguale al determinante di T

\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}

Quindi

\displaystyle |A| = \displaystyle |T| = \displaystyle t_{11}\cdot t_{22}\cdot t_{33}

Se nell’eliminazione di Gauss si rende necessario uno scambio di righe allora il determinante cambia di segno.
Se il numero di scambi di righe finale è dispari allora il determinante cambia di segno.

Calcolo del determinante

  1. Regola di Sarrus (solo per 3×3)
  2. Regola di Laplace
  3. Con gli autovalori