Determinante, con eliminazione di Gauss

Il determinante di una matrice diagonale (triangolare) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale

$|A| = \prod_i a_{ii}$

Applicando alla matrice A l’eliminazione di Gauss si ottiene una matrice triangolare superiore T

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}$

Il determinante di A è uguale al determinante di T

$\displaystyle |A|$ = $\displaystyle |T|$ = $\displaystyle t_{11}\cdot t_{22}\cdot t_{33}$

Se nell’eliminazione di Gauss si rende necessario uno scambio di righe allora il determinante cambia di segno.
Se il numero di scambi di righe finale è dispari allora il determinante cambia di segno.

Esempio 2×2

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$

$m_1 = \displaystyle\frac{a_{21}}{a_{11}} = \displaystyle\frac{3}{1} = 3$

$R_2 \leftarrow R_2 -m_1\cdot R_1$
= $R_2 -3 R_1$
= $\begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}$
= $\begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & 6\end{bmatrix}$
= $\begin{bmatrix}0 & -2\end{bmatrix}$

$\displaystyle T = \begin{bmatrix}1 & 2\\0 & -2\end{bmatrix}$

$|A| = |T|$

$|T| = t_{11}\cdot t_{22}$
= $1\cdot (-2)$
= -2