Sistemi lineari, con la matrice inversa

Algebra lineare

Per calcolare la soluzione di un sistema lineare è sufficiente calcolare la matrice inversa $A^{-1}$ e dopo il prodotto $A^{-1}\cdot b$

$A\cdot x=b$
$A^{-1}\cdot A \cdot x=A^{-1}\cdot b$
$I \cdot x=A^{-1}\cdot b$
$x=A^{-1}\cdot b$

Esempio 2×2

$\displaystyle \begin{cases}x_1+2\, x_2 = 4\\3\, x_1+4\, x_2 = 10\end{cases}$

Il sistema in forma matriciale

$A\cdot x = b$

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\10\end{bmatrix}$

Calcola l’inversa di A

$\displaystyle A^{-1} = \begin{bmatrix}-2 & 1\\\displaystyle\frac{3}{2} & \displaystyle -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

Calcola il vettore soluzione

$x=A^{-1}\cdot b$ = $\begin{bmatrix}-2 & 1\\ \displaystyle\frac{3}{2} & \displaystyle -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}4\\10\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-2\cdot 4+ 1\cdot 10\\\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 4 \displaystyle-\frac{1}{2}\cdot 10\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-8+ 10\\6-5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 1\end{cases}$

Esempio 3×3

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