Matrice inversa, con formula

Considera una matrice A

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Calcola tutti i determinanti delle sottomatrici di A.
I minori complementari…

$\displaystyle \begin{bmatrix}|A_{11}| & |A_{12}| & |A_{13}| \\|A_{21}| & |A_{22}| & |A_{23}| \\|A_{31}| & |A_{32}| & |A_{33}|\end{bmatrix}$

Calcola tutti i cofattori $C_{ij}$ : aggiungi il segno ai minori complementari, $(-1)^{i+j}|A_{ij}|$

$\displaystyle \begin{bmatrix}|A_{11}| & -|A_{12}| & |A_{13}| \\-|A_{21}| & |A_{22}| & -|A_{23}| \\|A_{31}| & -|A_{32}| & |A_{33}|\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}C_{11} & C_{12} & C_{13} \\C_{21} & C_{22} & C_{23} \\C_{31} & C_{32} & C_{33}\end{bmatrix}$

Considera la trasposta dei cofattori

$\displaystyle \begin{bmatrix}C_{11} & C_{21} & C_{31} \\C_{12} & C_{22} & C_{32} \\C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{bmatrix}$

Dividi tutto per il determinante di A: moltiplica per uno scalare.

$\displaystyle \frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix}C_{11} & C_{21} & C_{31} \\C_{12} & C_{22} & C_{32} \\C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\displaystyle\frac{C_{11}}{det(A)} & \displaystyle \frac{C_{21}}{det(A)} & \displaystyle\frac{C_{31}}{det(A)} \\\displaystyle\frac{C_{12}}{det(A)} & \displaystyle\frac{C_{22}}{det(A)} & \displaystyle\frac{C_{32}}{det(A)} \\\displaystyle\frac{C_{13}}{det(A)} & \displaystyle\frac{C_{23}}{det(A)} & \displaystyle\frac{C_{33}}{det(A)}\end{bmatrix}$

Riassunto: ogni elemento dell’inversa di A è dato dal simmetrico del cofattore diviso il determinante di A…

$\displaystyle x_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot \frac{det(A_{ji})}{det(A)}$

Esempio 2×2

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$

Il determinante di A: $|A| = 1\cdot 4-2\cdot 3 = 4-6 = -2$

Calcola i determinanti di tutte le sottomatrici

$\displaystyle |A_{11}| = 4$ , $\displaystyle |A_{12}| = 3$
$\displaystyle |A_{21}| = 2$ , $\displaystyle |A_{22}| = 1$

$\displaystyle \begin{bmatrix}4 & 3 \\2 & 1\end{bmatrix}$

Aggiungi i segni

$\displaystyle \begin{bmatrix}4 & -3 \\-2 & 1\end{bmatrix}$

Calcola la trasposta

$\displaystyle \begin{bmatrix}4 & -2 \\-3 & 1\end{bmatrix}$

Dividi per il determinante di A

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\begin{bmatrix}4 & -2 \\-3 & 1\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}-2 & 1 \\\displaystyle\frac{3}{2} & \displaystyle-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

Esempio 3×3

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 3\end{bmatrix}$

Il determinante di A: $|A| = 1\cdot 2 \cdot 3 = 6$

Calcola tutti i determinanti delle sottomatrici

$\displaystyle |A_{11}| = \begin{vmatrix}2 & 3 \\0 & 3\end{vmatrix} = 6$ , $\displaystyle |A_{12}| = \begin{vmatrix}0 & 3 \\0 & 3\end{vmatrix} = 0$ , $\displaystyle |A_{13}| = \begin{vmatrix}0 & 2 \\0 & 0\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle |A_{21}| = \begin{vmatrix}2 & 3 \\0 & 3\end{vmatrix} = 6$ , $\displaystyle |A_{22}| = \begin{vmatrix}1 & 3 \\0 & 3\end{vmatrix} = 3$ , $\displaystyle |A_{23}| = \begin{vmatrix}1 & 2 \\0 & 0\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle |A_{31}| = \begin{vmatrix}2 & 3 \\2 & 3\end{vmatrix} = 0$ , $\displaystyle |A_{32}| = \begin{vmatrix}1 & 3 \\0 & 3\end{vmatrix} = 3$ , $\displaystyle |A_{33}| = \begin{vmatrix}1 & 2 \\0 & 2\end{vmatrix} = 2$