Funzione interpolatrice lineare

Interpolazione e regressione

La funzione interpolatrice è lineare (la curva è una retta…)

$y = mx+q$
$m$ , coefficiente di regressione
$q$ , costante di regressione

Errore

Differenza tra l’ordinata di un punto e l’ordinata della funzione

$d_i = y_i - f(x_i)$

Somma dei quadrati degli errori

$\displaystyle {d_1}^2 + {d_2}^2+\ \dots\ +{d_n}^2$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^n {d_i}^2$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))^2$

Studia la funzione

$F(m, q)$ = $\displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))^2$

Se le derivate parziali si annullano allora è presente un punto notevole (minimo)

$\begin{cases}\displaystyle \frac{\partial F}{\partial m} = 0\\\, \\\displaystyle\frac{\partial F}{\partial q} = 0\end{cases}$

Calcoli…

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial m} = 0$

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial m} \sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))^2 = 0$

$\displaystyle -2\sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))\cdot x_i = 0$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i -m\sum_{i=1}^n x_i^2 -q \sum_{i=1}^n x_i = 0$

$\displaystyle m\sum_{i=1}^n x_i^2 +q\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n x_i y_i$

$\displaystyle q = \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i y_i} -\displaystyle m\sum_{i=1}^n x_i^2} {\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial q} = 0$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial q} \sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))^2 = 0$

$\displaystyle -2\sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q)) = 0$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i -m\sum_{i=1}^n x_i -q \sum_{i=1}^n 1 = 0$

$\displaystyle m\sum_{i=1}^n x_i +q n = \sum_{i=1}^n y_i$

$\displaystyle q = \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i -\displaystyle m\sum_{i=1}^n x_i} {n}$

La soluzione del sistema è

$\begin{cases}\displaystyle m=\frac {\displaystyle n\sum_{i=1}^{n} x_i y_i -\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \sum_{i=1}^{n} y_i}{\displaystyle n\sum_{i=1}^{n} x_i^2 -\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2}\\\, \\\displaystyle q=\frac {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot \sum_{i=1}^{n} y_i -\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\displaystyle n\sum_{i=1}^{n} x_i^2 -\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2}}\end{cases}$

Formulazioni alternative

$\displaystyle m=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {x_i\cdot y_i-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {{x_i}^2-n\cdot {\overline{x}}^2}}$

$\begin{cases}\displaystyle m=\frac {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x}) (y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})}\\\, \\\displaystyle q=\overline{y}-m\overline{x}\end{cases}$

m = $\displaystyle\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{XX}}$

Osservazione 1

Dimostrazioni

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x}) (y_i-\overline{y})$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(x_i\cdot x_i-x_i \cdot \overline{y}-\overline{x} \cdot y_i +\overline{x}\cdot \overline{y} \right)$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot y_i - \overline{y} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i -\overline{x} \cdot \sum_{i=1}^{n} y_i +\overline{x}\cdot \overline{y} \sum_{i=1}^{n} 1 \right)$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {x_i\cdot y_i-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}+n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {x_i\cdot y_i-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {\left(x_i^2 -2\cdot x_i \cdot \overline{x} + \overline{x}^2\right)}$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2 -2\cdot \overline{x} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i+\overline{x}^2 \sum_{i=1}^{n} 1 \right)$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 -2\cdot n \cdot {\overline{x}}^2 + n \cdot {\overline{x}}^2$

= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 -n \cdot {\overline{x}}^2$

Osservazione 2

La retta di regressione passa per il baricentro dei punti

$\displaystyle \overline{x} \ = \ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ , media aritmetica
$\displaystyle \overline{y} \ = \ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$ , media aritmetica
$G(\overline{x}, \overline{y})$ , baricentro dei punti
$y- \overline{y} = m(x- \overline{x})$

Osservazione 3

m e $\sigma_{XY}$ hanno lo stesso segno

…