Eliminazione di Gauss

di
Algebra lineare

L’eliminazione di Gauss trasforma una matrice quadrata A in una matrice triangolare superiore T.

La matrice triangolare si presta al

\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}

A ogni passo si elimina (annulla) un elemento sotto la diagonale principale.
Alla sua riga si sottrae un certo multiplo di un’altra riga: R_i \leftarrow R_i-m_{j}\cdot R_j

\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

Annullare a_{21}

\displaystyle a_{21}-m_1\cdot a_{11}} = 0

m_{1} = \displaystyle \frac{a_{21}}{a_{11}}

R_2 \leftarrow R_2-m_{1}\cdot R_1

\displaystyle \begin{array}{rrrc}a_{21} & a_{22} & a_{23} & -\\(m_{1})a_{11} & (m_{1})a_{12} & (m_{1})a_{13} & = \\0 & b_{22} & b_{23} & \, \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

Annullare a_{31}

m_{1} = \displaystyle \frac{a_{31}}{a_{11}}

R_3 \leftarrow R_3-m_{1}\cdot R_1

\displaystyle \begin{array}{rrrc}a_{31} & a_{32} & a_{33} & -\\(m_{1})a_{11} & (m_{1})a_{12} & (m_{1})a_{13} & = \\0 & b_{32} & b_{33} & \, \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\0 & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}

Annullare b_{32}

m_{2} = \displaystyle \frac{b_{32}}{b_{22}}

R_3 \leftarrow R_3 -m_{2}\cdot R_2

\displaystyle \begin{array}{rrrc}0 & b_{32} & b_{33} & -\\0 & (m_{2})b_{22} & (m_{2})b_{23} & =\\0 & 0 & c_{33} & \, \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\0 & 0 & c_{33}\end{bmatrix}

Matrice triangolare superiore

Eliminazione di Gauss-Jordan

Dopo essere arrivati alla matrice triangolare superiore si può continuare, dal basso verso l’alto, e ottenere una matrice diagonale.

La matrice diagonale si presta al

\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}

\displaystyle D = \begin{bmatrix}d_{11} & 0 & 0 \\0 & d_{22} & 0 \\0 & 0 & d_{33}\end{bmatrix}

Esempio 2×2

\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}

Annullare a_{21}

m_1 = \displaystyle\frac{a_{21}}{a_{11}} = \displaystyle\frac{3}{1} = 3

R_2 \leftarrow R_2 -m_1\cdot R_1 = R_2 -3 R_1 = \begin{bmatrix}0 & -2\end{bmatrix}

\displaystyle \begin{array}{rrc}3 & 4 & -\\\\(3)1 & (3)2 & \, \\3 & 6 & = \\\\0 & -2 & \, \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\0 & -2\end{bmatrix}

Annullare a_{12}

m_2 = \displaystyle\frac{a_{12}}{a_{22}} = \displaystyle\frac{2}{-2} = -1

R_1 \leftarrow R_1 -m_2\cdot R_2 = R_1 -(-1) R_2 = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}

\displaystyle \begin{array}{rrc}1 & 2 & -\\\\(-1)0 & (-1)(-2) & \, \\0 & 2 & = \\\\1 & 0 & \, \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -2\end{bmatrix}

Matrice diagonale principale