Eliminazione di Gauss

L’eliminazione di Gauss trasforma una matrice quadrata A in una matrice triangolare superiore T.

La matrice triangolare si presta al

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}$

A ogni passo si elimina (annulla) un elemento sotto la diagonale principale.
Si comincia con il primo elemento in alto a sinistra $a_{2, 1}$ e si finisce con $a_{n, n-1}$ .

Per eliminare l’elemento alla riga i e colonna j si sottrae alla riga i un multiplo della riga j: $R_i \leftarrow R_i-m_{j}\cdot R_j$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Per annullare $a_{21}$ calcola $m_{1} = \displaystyle \frac{a_{21}}{a_{11}}$

$R_2 \leftarrow R_2-m_{1}\cdot R_1$

= $[a_{21}\ a_{22}\ a_{23}] - m_{1}\cdot [a_{11}\ a_{12}\ a_{13}]$
= $[a_{21}\ a_{22}\ a_{23}] - [m_{1}\cdot a_{11}\ m_{1}\cdot a_{12}\ m_{1}\cdot a_{13}]$
= …
= $[0\ a_{22}^*\ a_{23}^*]$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22}^* & a_{23}^* \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Per annullare $a_{31}$ calcola $m_{1} = \displaystyle \frac{a_{31}}{a_{11}}$

$R_3 \leftarrow R_3-m_{1}\cdot R_1$

= $[a_{31}\ a_{32}\ a_{33}] - m_{1}\cdot [a_{11}\ a_{12}\ a_{13}]$
= …
= $[0\ a_{32}^*\ a_{33}^*]$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22}^* & a_{23}^* \\0 & a_{32}^* & a_{33}^*\end{bmatrix}$

Per annullare $a_{32}^*$ calcola $m_{2} = \displaystyle \frac{a_{32}^*}{a_{22}^*}$

$R_3 \leftarrow R_3 -m_{2}\cdot R_2$

= $[0\ a_{32}^*\ a_{33}^*] - m_{2}\cdot [0\ a_{22}^*\ a_{23}^*]$
= …
= $[0\ 0\ a_{33}^*]$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22}^* & a_{23}^* \\0 & 0 & a_{33}^*\end{bmatrix}$

Matrice triangolare superiore

Eliminazione di Gauss-Jordan

Dopo essere arrivati alla matrice triangolare superiore si può continuare, dal basso verso l’alto, e ottenere una matrice diagonale: elimina $t_{23}$ , $t_{13}$ , $t_{12}$ .