Esame di Stato 2005 PNI – 10

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

I dati del problema

	Abitanti con 60 anni o più	Abitanti con meno di 60 anni	Popolazione
Somma delle età	$S_x$	$S_y$	$S = S_x+S_y$
Numero	$\displaystyle N_x = \frac{40}{100}\cdot N = \frac{2}{5}\cdot N$	$\displaystyle N_y = \frac{60}{100}\cdot N = \frac{3}{5}\cdot N$	$N = N_x+N_y$
Media delle età	$\displaystyle 60 \le M_x = \frac{S_x}{N_x}$	$\displaystyle 0 < M_y = \frac{S_y}{N_y} < 60$	$\displaystyle M = \frac{S}{N} = ?$

Una soluzione è la seguente

	Abitanti con 60 anni o più	Abitanti con meno di 60 anni	Popolazione
Età	60, 60, 60, 60	10, 10, 10, 10, 10, 10	60, 60, 60, 60, 10, 10, 10, 10, 10, 10
Somma delle età	$S_x = 240$	$S_y = 60$	$S = 300$
Numero	$\displaystyle N_x = 4$	$\displaystyle N_y = 6$	$N = 10$
Media delle età	$M_x = 60$	$M_y = 10$	$M = 30$

In generale

	Abitanti con 60 anni o più	Abitanti con meno di 60 anni	Popolazione
Somma delle età	$S_x$	$S_y$	$S = S_x+S_y$
Numero	$\displaystyle N_x = \frac{2}{5}\cdot N$	$\displaystyle N_y = \frac{3}{5}\cdot N$	$N = N_x+N_y$
Media delle età	$\displaystyle 60 \le M_x = \frac{S_x}{N_x}$	$\displaystyle 0 < M_y = \frac{S_y}{N_y} < 60$	$\displaystyle M = \frac{S}{N} = 30$
Calcoli…	$S_x = N_x\cdot M_x$	$S_y = N_y\cdot M_y$	$\displaystyle S = 30\cdot N$
	$\displaystyle S_x = \frac{2}{5} \cdot N\cdot M_x$	$\displaystyle S_y = \frac{3}{5} \cdot N\cdot M_y$	… $\displaystyle M_y = 50-\frac{2}{3}\cdot M_x$

Combinando i risultati delle 3 colonne

$\displaystyle M_y = 50-\frac{2}{3}\cdot M_x$
e sapendo che $\displaystyle 0 < M_y < 60$
$\displaystyle 0 < 50-\frac{2}{3}\cdot M_x < 60$
…
$\displaystyle -15 < M_x < 75$
e sapendo che $\displaystyle 60 \le M_x$
$60 \le M_x < 75$

Se l’età media del 40% della popolazione è compresa tra i 60 e i 75 anni allora la media della popolazione può essere 30 anni.