Esame di Stato dal 2001 al 2005

2001 PNI – Problema 2

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di Γ con l’asse x.

Anno 2001 PNI – 2

Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione $\displaystyle xe^x+xe^{-x}-2=0$ .

Anno 2001 – 6

Dimostrare che si ha $\displaystyle {n \choose k} ={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$ dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.

Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito $\displaystyle \int_{0}^\pi\ \sin{x}\ dx$ e si confronti il risultato con il valore esatto dell’integrale.

Anno 2001 PNI – 7

Verificato che l’equazione $\displaystyle x-e^{-x} = 0$ ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Anno 2001 PNI – 8

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

Anno 2002 PNI – Problema 1

…

Anno 2002 PNI – Problema 2

…

Anno 2002 PNI – 1

Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica? Qual è la media geometrica? Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

Anno 2002 PNI – 2

Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?!”

Anno 2002 PNI – 3

Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

Anno 2002 – 4

Si consideri…

Anno 2002 – 7

Data la funzione $f(x) = e^x-\sin(x)-3 x$ calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.

Anno 2003 PNI – Problema 2

… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …

Anno 2003 PNI – 1

Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

Anno 2003 PNI – 2

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Qual è la probabilità che essa sia difettosa?

Anno 2003 PNI – 4

Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y = 2 quattro volte.

Anno 2003 – 5

La funzione $2x^3 - 3 x^2 + 2$ ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

Anno 2003 PNI – 6

Si vuole che l’equazione $x^3+bx-7 = 0$ abbia 3 radici reali. Qual è un possibile valore di b?

Anno 2003 PNI – 7

Verificare l’uguaglianza $\displaystyle \pi = 4\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.

Anno 2003 – 9

Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.

Anno 2003 PNI – 10

Verificare che l’equazione $\displaystyle x^3 -3 x +1 = 0$ ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Anno 2004 PNI – Problema 1

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Anno 2004 PNI – Problema 2

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Anno 2004 – 4

Dimostrate che l’equazione $e^x +3 x = 0$ ammette una e una sola soluzione reale.

Anno 2004 PNI – 4

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

Anno 2004 PNI – 9

Si dimostri che l’equazione $e^x +3 x = 0$ ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

Anno 2004 – 10

Considerate gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

Anno 2005 PNI – Problema 2

…

Anno 2005 – 6

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

Anno 2005 – 7

Se f(x) = $\displaystyle x^4 -4 x^3 + 4 x^2 +3$ , per quanti numeri reali k è f(k) = 2? Si illustri il ragionamento seguito.

Anno 2005 PNI – 7

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

Anno 2005 PNI – 9

Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?

Anno 2005 PNI – 10

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.