Esame di Stato 2001 PNI – 7

Verificato che l’equazione $\displaystyle x-e^{-x} = 0$ ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Studia la funzione $\displaystyle f(x) = x-e^{-x}$

Esistenza

f(x) continua in R
f(0) = -1 < 0
f(1) = $\displaystyle 1 -\frac{1}{e}$ > 0
Teorema degli zeri: esiste $x_0 \in (0,\ 1)$ tale che $f(x_0) = 0$

Unicità

$f'(x) = 1+e^{-x}$
$f'(x) > 0$
$f(x)$ crescente in R
La funzione $\displaystyle f(x) = x-e^{-x}$ ha un solo zero e $x_0 \in (0,\ 1)$ .

Se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati…