Esame di Stato 2005 PNI – Quesito 9

di

Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?

Osserva

  • Le possibili uscite lanciando 2 dadi sono 6*6 = 36
  • Si può ottenere 10 lanciando 2 dadi in 3 modi diversi
    • 4+6=10
    • 5+5=10
    • 6+4=10

Allora

Eventoprobabilità
10
lanciando 2 dadi		= \displaystyle \frac{3}{36}= \displaystyle \frac{1}{12}~ 0,08333
Diverso da 10
lanciando 2 dadi		= \displaystyle 1-\frac{1}{12}= \displaystyle \frac{11}{12}~ 0,91667
0 volte 10
lanciando 2 dadi 6 volte		= \displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{12}\right)^0\left(\frac{11}{12}\right)^6= \displaystyle 1\cdot \frac{11^6}{12^6}~ 0,59329
1 volta 10
lanciando 2 dadi 6 volte		= \displaystyle {6 \choose 1}\left(\frac{1}{12}\right)^1\left(\frac{11}{12}\right)^5= \displaystyle 6\cdot \frac{11^5}{12^6}~ 0,32361
Almeno 2 volte 10
lanciando 2 dadi 6 volte		= 1 – p(0) – p(1)= …~ 0,083

Esercizio

Calcola le probabilità di ottenere 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 volte il valore 10 lanciando 2 dadi per 6 volte

p(0)= \displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{12}\right)^0\left(\frac{11}{12}\right)^6= \displaystyle 1\cdot \frac{11^6}{12^6}~ 0,59329
p(1)= \displaystyle {6 \choose 1}\left(\frac{1}{12}\right)^1\left(\frac{11}{12}\right)^5= \displaystyle 6\cdot \frac{11^5}{12^6}~ 0,32361
p(2)= \displaystyle {6 \choose 2}\left(\frac{1}{12}\right)^2\left(\frac{11}{12}\right)^4= \displaystyle 15\cdot \frac{11^4}{12^6}~ 0,07355
p(3)= \displaystyle {6 \choose 3}\left(\frac{1}{12}\right)^3\left(\frac{11}{12}\right)^3= \displaystyle 20\cdot \frac{11^3}{12^6}~ 0,00892
p(4)= \displaystyle {6 \choose 4}\left(\frac{1}{12}\right)^4\left(\frac{11}{12}\right)^2= \displaystyle 15\cdot \frac{11^2}{12^6}~ 0,00061
p(5)= \displaystyle {6 \choose 5}\left(\frac{1}{12}\right)^5\left(\frac{11}{12}\right)^1= \displaystyle 6\cdot \frac{11}{12^6}~ 0,00002
p(6)= \displaystyle {6 \choose 6}\left(\frac{1}{12}\right)^6\left(\frac{11}{12}\right)^0= \displaystyle 1\cdot \frac{1}{12^6}…

Allora la probabilità di ottenere 10 almeno 2 volte è

p(2…6) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = … ~ 0,083