Esame di Stato 2009 – 7

Si dimostri l’identità $\displaystyle {n \choose k+1} ={n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$ dove n e k naturali e n > k.

Utilizza le identità

Sviluppa 1° e 2° membro

$\displaystyle {n \choose k+1}$ = $\displaystyle {n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$

$\displaystyle \frac{n!}{(k+1)!\ (n-(k+1))!}$ = $\displaystyle \frac{n!}{k!\ (n-k)!} \ \frac{n-k}{k+1}$

$\displaystyle \frac{n! \ (n-k)}{(k+1)\ k!\ (n-k)\ (n-(k+1))!}$ = $\displaystyle \frac{n!}{k!\ (n-k)(n-(k+1))!} \ \frac{n-k}{k+1}$