Esame di Stato 2012 PNI – 8

di

Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C).
Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi e di questi il 10% sono difettosi.
Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi.
Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi.
Sapendo che un pezzo è difettoso, con quanta probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

Osserva

  1. \displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}, nello stabilimento C si produce un sesto dei pezzi
  2. p(A ∩ Dif.) = p(A)·p(Dif. | A)
  3. p(Dif. ∩ A) = p(Dif.)·p(A | Dif.)

Osserva la figura

Quindi

  • p(A ∩ Dif.) = p(A)·p(Dif. | A) = \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{10}{100} = \displaystyle \frac{10}{200}
  • p(B ∩ Dif.) = p(B)·p(Dif. | B) = \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{7}{100} = \displaystyle \frac{7}{300}
  • p(C ∩ Dif.) = p(C)·p(Dif. | C) = \displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{100} = \displaystyle \frac{5}{600}
  • p(Dif.) = p(A ∩ Dif.) + p(B ∩ Dif.) + p(C ∩ Dif.) = \displaystyle \frac{10}{200} + \frac{7}{300} + \frac{5}{600} = \displaystyle \frac{49}{600}
  • p(A | Dif.) = \displaystyle \frac{\text{p(Dif.} \cap \text{A)}}{\text{p(Dif.)}} = \displaystyle \frac{10}{200} : \frac{49}{600} = \displaystyle \frac{30}{49}