Esame di Stato 2015 PNI – 3

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte?
Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?

INVALSI – ESEMPIO 2 – Domanda 9

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 volte testa in 6 lanci di una moneta non truccata?

Medicina e Chirurgia – 2008 – 77

Qual è la probabilità che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 teste?

Soluzione 1

Le sequenze di 6 lanci che soddisfano un certo numero di “testa” sono (prova a contarle…)

Numero Testa	Sequenze	Numero Sequenze	Probabilità
0	CCCCCC	1	$\displaystyle \frac{1}{64}$
1	CCCCCT CCCCTC CCCTCC CCTCCC CTCCCC TCCCCC	6	$\displaystyle \frac{6}{64}$
2	CCCCTT CCCTCT CCCTTC CCTCCT CCTCTC CCTTCC CTCCCT CTCCTC CTCTCC CTTCCC TCCCCT TCCCTC TCCTCC TCTCCC TTCCCC	15	$\displaystyle \frac{15}{64}$
3	CCCTTT CCTCTT CCTTCT CCTTTC CTCCTT CTCTCT CTCTTC CTTCCT CTTCTC CTTTCC TCCCTT TCCTCT TCCTTC TCTCCT TCTCTC TCTTCC TTCCCT TTCCTC TTCTCC TTTCCC	20	$\displaystyle \frac{20}{64}$
4	CCTTTT CTCTTT CTTCTT CTTTCT CTTTTC TCCTTT TCTCTT TCTTCT TCTTTC TTCCTT TTCTCT TTCTTC TTTCCT TTTCTC TTTTCC	15	$\displaystyle \frac{15}{64}$
5	CTTTTT TCTTTT TTCTTT TTTCTT TTTTCT TTTTTC	6	$\displaystyle \frac{6}{64}$
6	TTTTTT	1	$\displaystyle \frac{1}{64}$
		64	1

Tutte le sequenze possibili sono 64 (2^6).

Soluzione 2

Utilizza la tecnica degli anagrammi

Numero Testa	Numero Croce	Numero Anagrammi		Probabilità
0	6	$\displaystyle \frac{6!}{0!\ 6!}$	1	$\displaystyle \frac{1}{64}$
1	5	$\displaystyle \frac{6!}{1!\ 5!}$	6	$\displaystyle \frac{6}{64}$
2	4	$\displaystyle \frac{6!}{2!\ 4!}$	15	$\displaystyle \frac{15}{64}$
3	3	$\displaystyle \frac{6!}{3!\ 3!}$	20	$\displaystyle \frac{20}{64}$
4	2	$\displaystyle \frac{6!}{4!\ 2!}$	15	$\displaystyle \frac{15}{64}$
5	1	$\displaystyle \frac{6!}{5!\ 1!}$	6	$\displaystyle \frac{6}{64}$
6	0	$\displaystyle \frac{6!}{6!\ 0!}$	1	$\displaystyle \frac{1}{64}$
			64	1

Soluzione 3

Utilizza la distribuzione binomiale

\displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^6

Numero Testa	Numero Croce	Distribuzione binomiale	Probabilità
0	6	$\displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^6$	$\displaystyle \frac{1}{64}$
1	5	$\displaystyle {6 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^5$	$\displaystyle \frac{6}{64}$
2	4	$\displaystyle {6 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^4$	$\displaystyle \frac{15}{64}$
3	3	$\displaystyle {6 \choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3$	$\displaystyle \frac{20}{64}$
4	2	$\displaystyle {6 \choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2$	$\displaystyle \frac{15}{64}$
5	1	$\displaystyle {6 \choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^1$	$\displaystyle \frac{6}{64}$
6	0	$\displaystyle {6 \choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^0$	$\displaystyle \frac{1}{64}$
			1

Conclusioni

p(T < 2)	= p(T=0) + p(T=1)	= $\displaystyle \frac{1}{64}+\frac{6}{64}$	= $\displaystyle \frac{7}{64}$	= 0,109375	= 10,9375 %
p(T ≤ 2)	= p(T=0) + p(T=1) + p(T=2)	= $\displaystyle \frac{1}{64}+\frac{6}{64}+\frac{15}{64}$	= $\displaystyle \frac{22}{64}$	= 0,34375	= 34,375 %
p(T ≥ 2)	= 1 – p(T < 2)	= $\displaystyle 1 - \frac{7}{64}$	= $\displaystyle \frac{57}{64}$	= 0,890625	= 89,0625 %
p(T ≥ 2)	= p(T=2) + p(T=3) + p(T=4) + p(T=5) + p(T=6)	= $\displaystyle \frac{15}{64}+\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}$	= $\displaystyle \frac{57}{64}$	= 0,890625	= 89,0625 %