Esame di Stato 2018 – 2

di

Si dispone di due dadi uguali non bilanciati a forma di tetraedro regolare con le facce numerate da 1 a 4.
Lanciando ciascuno dei due dadi, la probabilità che esca 1 è il doppio della probabilità che esca 2, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 3, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4.
Se si lanciano i due dadi contemporaneamente, qual è la probabilità che escano due numeri uguali tra loro?

Osserva

\begin{cases} p_1 = 2\ p_2 \\ p_2 = 2\ p_3 \\ p_3 = 2\ p_4 \\ p_1+p_2+p_3+p_4 = 1 \end{cases}

…

\begin{cases} \displaystyle p_1 = \frac{8}{15} \\ \displaystyle p_2 = \frac{4}{15} \\ \displaystyle p_3 = \frac{2}{15} \\ \displaystyle p_4 = \frac{1}{15} \end{cases}

La probabilità che, lanciando due dadi, escano due numeri uguali:

p = \displaystyle p_1 \cdot p_1 + p_2 \cdot p_2 + p_3 \cdot p_3+ p_4 \cdot p_4 = \displaystyle \frac{8}{15}\cdot \frac{8}{15}+\frac{4}{15}\cdot \frac{4}{15}+\frac{2}{15}\cdot \frac{2}{15}+\frac{1}{15}\cdot \frac{1}{15} = \displaystyle \frac{64}{225}+\frac{16}{225}+\frac{4}{225}+\frac{1}{225} = \displaystyle \frac{85}{225} = \displaystyle \frac{17}{45} = 0,377… ~ 38%

Esercizio aggiuntivo 1

Sia X la variabile casuale “punti realizzati lanciando un dado tetraedico non bilanciato”, allora

x_ip_ip_i \ x_ix_i^2p_i \ x_i^2|x_i-m|p_i\ |x_i-m|(x_i-m)^2p_i\ (x_i-m)^2
1\displaystyle \frac{8}{15}\displaystyle \frac{8}{15}1\displaystyle \frac{8}{15}\displaystyle \frac{11}{15}\displaystyle \frac{88}{225} \displaystyle \frac{121}{225}\displaystyle \frac{968}{3375}
2\displaystyle \frac{4}{15}\displaystyle \frac{8}{15}4\displaystyle \frac{16}{15}\displaystyle \frac{4}{15}\displaystyle \frac{16}{225}\displaystyle \frac{16}{225}\displaystyle \frac{64}{3375}
3\displaystyle \frac{2}{15}\displaystyle \frac{2}{5}9\displaystyle \frac{18}{15}\displaystyle \frac{19}{15}\displaystyle \frac{38}{225}\displaystyle \frac{361}{225}\displaystyle \frac{722}{3375}
4\displaystyle \frac{1}{15}\displaystyle \frac{4}{15}16\displaystyle \frac{16}{15}\displaystyle \frac{34}{15}\displaystyle \frac{34}{225}\displaystyle \frac{1156}{225}\displaystyle \frac{1156}{3375}
 1\displaystyle \frac{26}{15}30\displaystyle \frac{58}{15} \displaystyle \frac{68}{15}\displaystyle \frac{176}{225}\displaystyle \frac{1654}{225}\displaystyle \frac{194}{225}
M(X)M(X^2)\delta(X)dev(X)var(X)

Osserva

Media\displaystyle M(X)= \displaystyle \sum_i p_i\cdot x_i= \displaystyle \frac{26}{15}~ 1,7333
Scarto medio assoluto\displaystyle \delta(X)= \displaystyle \sum _{i}p_i|x_{i}-m|}= \displaystyle \frac{176}{225}~ 0,7822
Devianza\displaystyle dev(x)= \displaystyle \sum_{i}(x_i-m)^2= \displaystyle \frac{1654}{225}~ 7,3511
Varianza\displaystyle var(X)= \displaystyle \sum_i p_i(x_i-m)^2= \displaystyle \frac{194}{225}~ 0,8622
Deviazione standard\sigma (X)= \displaystyle \sqrt{\sum_i p_i(x_i-m)^2}= \displaystyle \frac{\sqrt{194}}{15}~ 0,9286
Deviazione standard relativa\displaystyle \sigma^{*}(X)= \displaystyle \frac{\sigma(X)}{|M(X)|}= \displaystyle \frac{\sqrt{194}}{26}~ 0,5357
…\displaystyle M(X^2)= \displaystyle \sum_ip_i\cdot x_i^2= \displaystyle \frac{58}{15}~ 3,8667
Varianzavar(X)= \displaystyle M(X^2)-[M(X)]^2= \displaystyle \frac{58}{15}-\left(\frac{26}{15}\right)^2 = \displaystyle \frac{194}{225}~ 0,8622

Esercizio aggiuntivo 2

Osserva le probabilità delle uscite quando si lanciano due dadi tetraedici non bilanciati

x_iProbabilità
21+1\displaystyle \frac{8}{15}\cdot \frac{8}{15}= \displaystyle \frac{64}{225}
31+22+1\displaystyle \frac{8}{15}\cdot \frac{4}{15}+\frac{4}{15}\cdot \frac{8}{15}= \displaystyle \frac{64}{225}
41+32+23+1\displaystyle \frac{8}{15}\cdot \frac{2}{15}+\frac{4}{15}\cdot \frac{4}{15}+\frac{2}{15}\cdot \frac{8}{15}= \displaystyle \frac{48}{225}
51+42+33+24+1\displaystyle \frac{8}{15}\cdot \frac{1}{15}+\frac{4}{15}\cdot \frac{2}{15}+\frac{2}{15}\cdot \frac{4}{15}+\frac{1}{15}\cdot \frac{8}{15}= \displaystyle \frac{32}{225}
62+43+34+2\displaystyle \frac{4}{15}\cdot \frac{1}{15}+\frac{2}{15}\cdot \frac{2}{15}+\frac{1}{15}\cdot \frac{4}{15}= \displaystyle \frac{12}{225}
73+44+3\displaystyle \frac{2}{15}\cdot \frac{1}{15}+\frac{1}{15}\cdot \frac{2}{15}= \displaystyle \frac{4}{225}
84+4\displaystyle \frac{1}{15}\cdot \frac{1}{15}= \displaystyle \frac{1}{225}

Esercizio aggiuntivo 3

Sia X la variabile casuale “punti realizzati lanciando due dadi tetraedici non bilanciati”, allora

x_ip_ip_i \ x_ix_i^2p_i \ x_i^2|x_i-m|p_i\ |x_i-m|(x_i-m)^2p_i\ (x_i-m)^2
2\displaystyle \frac{64}{225}
3\displaystyle \frac{64}{225}
4\displaystyle \frac{48}{225}
5\displaystyle \frac{32}{225}
6\displaystyle \frac{12}{225}
7\displaystyle \frac{4}{225}
8\displaystyle \frac{1}{225}
……………
M(X)M(X^2)\delta(X)dev(X)var(X)

Osserva

Media\displaystyle M(X)= \displaystyle \sum_i p_i\cdot x_i……
Scarto medio assoluto\displaystyle \delta(X)= \displaystyle \sum _{i}p_i|x_{i}-m|}……
Devianza\displaystyle dev(x)= \displaystyle \sum_{i}(x_i-m)^2……
Varianza\displaystyle var(X)= \displaystyle \sum_i p_i(x_i-m)^2……
Deviazione standard\sigma (X)= \displaystyle \sqrt{\sum_i p_i(x_i-m)^2}……
Deviazione standard relativa\displaystyle \sigma^{*}(X)= \displaystyle \frac{\sigma(X)}{|M(X)|}……
…\displaystyle M(X^2)= \displaystyle \sum_ip_i\cdot x_i^2……
Varianzavar(X)= \displaystyle M(X^2)-[M(X)]^2……