Esame di Stato 2019 Simulazione 3 – 5

Emma fa questo gioco: lancia un dado con facce numerate da 1 a 6; se esce il numero 3 guadagna 3 punti, altrimenti perde 1 punto.
Il punteggio iniziale è 0.

Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?
Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?

Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3

n=0, punteggio=-4
n=1, punteggio=0
n=2, punteggio=4
n=3, punteggio=8
n=4, punteggio=12
Il punteggio rimane 0 dopo 4 lanci se il 3 esce 1 volta

p(punteggio = 0) = p(n = 1) = …

p(dado = 3) = 1/6
p(dado = x) = 5/6, x <> 3
p(dado = 3xxx) = p(dado = x3xx) = p(dado = xx3x) = p(dado = xxx3) = $\displaystyle \frac{5^3}{6^4}$
p(n = 1) = $\displaystyle 4\cdot \frac{5^3}{6^4}$ = $\displaystyle \frac{125}{324}$ ∼ 0.3858 = 38,58 %

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

Sia * qualsiasi uscita da 1 a 6

Considera i casi con punteggio positivo o nullo (in verde)

p(dado = 33****) = $\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$
p(dado = 3×3***) = $\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}$
p(dado = 3xx3**) = $\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}$
p(dado = 3xxx3*) = $\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}$

p(punteggio ≥ 0) = $\displaystyle \frac{1}{6^2}$ + $\displaystyle \frac{5}{6^3}$ + $\displaystyle \frac{5^2}{6^4}$ + $\displaystyle \frac{5^3}{6^5}$ ~ 0,08629 ~ 8,63 %

Oppure, considera i casi con punteggio negativo (in rosso)

Se al primo lancio esce un numero diverso da 3 il punteggio è già negativo!
- p(dado = x*****) = $\displaystyle \frac{5}{6}$
Se al primo lancio esce 3 e poi escono 4 numeri diversi da 3 il punteggio diventa negativo al 5° lancio
- p(dado = 3xxxx*) = $\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}$
In nessun altro caso il punteggio sarà negativo

p(punteggio ≥ 0) = 1 – $\displaystyle \frac{5}{6}$ – $\displaystyle \frac{5^4}{6^5}$ ~ 0,08629 ~ 8,63 %

Esercizi aggiuntivi

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?
Con controllo alla fine dei 6 lanci.

Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3

n=0, punteggio=-6
n=1, punteggio= -2
n=2, punteggio=2
n=3, punteggio=6
n=4, punteggio=10
n=5, punteggio=14
n=6, punteggio=18
Il punteggio non scende sotto lo 0 se il 3 esce almeno 2 volte

p(punteggio ≥ 0) = p(n ≥ 2) = 1 – p(n < 2) = 1 – p(n = 0) – p(n = 1) = …

p(n = 0) = p(dado = xxxxxx) = $\displaystyle \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}$ = $\displaystyle \frac{5^6}{6^6}$
p(n = 1) =…
- p(dado = 3xxxxx) = … = $\displaystyle \frac{5^5}{6^6}$
- p(dado = x3xxxx) = …
- p(dado = xx3xxx) = …
- p(dado = xxx3xx) = …
- p(dado = xxxx3x) = …
- p(dado = xxxxx3) = …

p(punteggio ≥ 0) = $\displaystyle 1- \frac{5^6}{6^6}-\frac{6\cdot 5^5}{6^6}$ = $\displaystyle 1-\frac{11\cdot5^5}{6^6}$ = … ∼ 0,2632 = 26,32 %

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 4 lanci

Numero di 3	punti	uscite	quante sono	probabilità	probabilità (distribuzione binomiale)
0	-4	xxxx	$\displaystyle 5^4$	$\displaystyle \frac{5^4}{6^4}$	$\displaystyle {4 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4$
1	0	3xxx – x3xx – xx3x – xxx3	$\displaystyle 4\cdot 5^3$	$\displaystyle \frac{4\cdot 5^3}{6^4}$	$\displaystyle {4 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3$
2	4	33xx – 3x3x – 3xx3 – x33x – x3x3 – xx33	$\displaystyle 6\cdot 5^2$	$\displaystyle \frac{6\cdot 5^2}{6^4}$	$\displaystyle {4 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2$
3	8	333x – 33×3 – 3×33 – x333	$\displaystyle 4\cdot 5$	$\displaystyle \frac{4\cdot5}{6^4}$	$\displaystyle {4 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^1$
4	12	3333	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{1}{6^4}$	$\displaystyle {4 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^0$

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 6 lanci

Numero di 3	punti	uscite	quante sono	probabilità	probabilità (distribuzione binomiale)
0	-6	xxxxxx	$\displaystyle 5^6$	$\displaystyle \frac{5^6}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^6$
1	-2	3xxxxx – x3xxxx – xx3xxx – xxx3xx – xxxx3x – xxxxx3	$\displaystyle 6\cdot 5^5$	$\displaystyle \frac{6\cdot 5^5}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^5$
2	2	33xxxx – 3x3xxx – 3xx3xx – 3xxx3x – 3xxxx3 – x33xxx x3x3xx – x3xx3x – x3xxx3 – xx33xx – xx3x3x – xx3xx3 xxx33x – xxx3x3 – xxxx33	$\displaystyle 15\cdot 5^4$	$\displaystyle \frac{15\cdot 5^4}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^4$
3	6	333xxx – 33x3xx – 33xx3x – 33xxx3 – 3x33xx – 3x3x3x 3x3xx3 – 3xx33x – 3xx3x3 – 3xxx33 – x333xx – x33x3x x33xx3 – x3x33x – x3x3x3 – x3xx33 – xx333x – xx33x3 xx3x33 – xxx333	$\displaystyle 20\cdot 5^3$	$\displaystyle \frac{20\cdot 5^3}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^3$
4	10	3333xx – 333x3x – 333xx3 – 33x33x – 33x3x3 – 33xx33 3x333x – 3x33x3 – 3x3x33 – 3xx333 – x3333x – x333x3 x33x33 – x3x333 – xx3333	$\displaystyle 15\cdot 5^2$	$\displaystyle \frac{15\cdot 5^2}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^2$
5	14	33333x – 3333×3 – 333×33 – 33×333 – 3×3333 – x33333	$\displaystyle 6\cdot 5$	$\displaystyle \frac{6\cdot 5}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 5}\left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^1$
6	18	333333	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{1}{6^6}$	$\displaystyle {6 \choose 6}\left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{5}{6}\right)^0$

Calcola la probabilità delle uscite significative con 6 lanci

Uscite	quante sono	probabilità
33****	$\displaystyle 6^4$	$\displaystyle \frac{6^4}{6^6}$	$\displaystyle \frac{1}{6^2}$
3×3***	$\displaystyle 5\cdot6^3$	$\displaystyle \frac{5\cdot 6^3}{6^6}$	$\displaystyle \frac{5}{6^3}$
3xx3**	$\displaystyle 5^2\cdot6^2$	$\displaystyle \frac{5^2\cdot 6^2}{6^6}$	$\displaystyle \frac{5^2}{6^4}$
3xxx3*	$\displaystyle 5^3\cdot6$	$\displaystyle \frac{5^3\cdot 6}{6^6}$	$\displaystyle \frac{5^3}{6^5}$
3xxxx*	$\displaystyle 5^4\cdot 6$	$\displaystyle \frac{5^4\cdot 6}{6^6}$	$\displaystyle \frac{5^4}{6^5}$
x*****	$\displaystyle 5\cdot 6^5$	$\displaystyle \frac{5\cdot6^5}{6^6}$	$\displaystyle \frac{5}{6}$