Esame di Stato 2019 Suppletiva – 5

Una persona lancia simultaneamente due dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6, poi trascrive su un foglio il massimo dei due numeri usciti.
Ripetendo molte volte la procedura, quale ci si può attendere che sarà la media dei valori trascritti?

Compila la tabella con tutti gli esiti possibili

    +-------------+
    | 1 2 3 4 5 6 |
+---+-------------+
| 1 | 1 2 3 4 5 6 |
| 2 | 2 2 3 4 5 6 |
| 3 | 3 3 3 4 5 6 |
| 4 | 4 4 4 4 5 6 |
| 5 | 5 5 5 5 5 6 |
| 6 | 6 6 6 6 6 6 |
+---+-------------+

Soluzione 1

Somma tutti i valori nella tabella e dividi per 36…

$\displaystyle \frac{1+2+\dots 6+6}{36} = \frac{161}{36}$ = 4,472…

Soluzione 2

Dalla tabella è possibile conteggiare le combinazioni per ogni esito e quindi calcolare la probabilità

Esito	Numero combinazioni	Probabilità
1	1	$\displaystyle\frac{1}{36}$		= 0,0277…	= 2,77… %
2	3	$\displaystyle\frac{3}{36}$	= $\displaystyle\frac{1}{12}$	= 0,0833…	= 8,33… %
3	5	$\displaystyle\frac{5}{36}$		= 0,1388…	= 13,88… %
4	7	$\displaystyle\frac{7}{36}$		= 0,1944…	= 19,44… %
5	9	$\displaystyle\frac{9}{36}$	= $\displaystyle\frac{1}{4}$	= 0,25	= 25,00… %
6	11	$\displaystyle\frac{11}{36}$		= 0,3055…	= 30,55… %
	36	$\displaystyle\frac{36}{36}$		1	100,00 %

Sia X la variabile casuale “massimo nel lancio di due dadi”, allora…

$x_i$	$p_i$	$p_i \ x_i$	…
1	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$\displaystyle\frac{1}{36}$	…
2	$\displaystyle\frac{1}{12}$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	…
3	$\displaystyle\frac{5}{36}$	$\displaystyle\frac{5}{12}$	…
4	$\displaystyle\frac{7}{36}$	$\displaystyle\frac{7}{9}$	…
5	$\displaystyle\frac{1}{4}$	$\displaystyle\frac{5}{4}$	…
6	$\displaystyle\frac{11}{36}$	$\displaystyle\frac{11}{6}$	…
	1	$\displaystyle\frac{161}{36}$

Quindi: $\displaystyle M(X)$ = $\displaystyle \sum_i p_i x_i$ = $\displaystyle\frac{161}{36}$ = 4,472…

Esercizio aggiuntivo

(Completa la tabella precedente) Sia X la variabile casuale “massimo nel lancio di due dadi”, allora…

$x_i$	$p_i$	$p_i \ x_i$	$x_i^2$	$p_i \ x_i^2$	$\|x_i-m\|$	$p_i \|x_i-m\|$	$(x_i-m)^2$	$p_i (x_i-m)^2$
1	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$\displaystyle\frac{1}{36}$	1	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$\displaystyle\frac{125}{36}$
2	$\displaystyle\frac{1}{12}$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	4	$\displaystyle\frac{1}{3}$	$\displaystyle\frac{89}{36}$
3	$\displaystyle\frac{5}{36}$	$\displaystyle\frac{5}{12}$	9	$\displaystyle\frac{5}{4}$	$\displaystyle\frac{53}{36}$
4	$\displaystyle\frac{7}{36}$	$\displaystyle\frac{7}{9}$	16	$\displaystyle\frac{28}{9}$	$\displaystyle\frac{17}{36}$
5	$\displaystyle\frac{1}{4}$	$\displaystyle\frac{5}{4}$	25	$\displaystyle\frac{25}{4}$	$\displaystyle\frac{19}{36}$
6	$\displaystyle\frac{11}{36}$	$\displaystyle\frac{11}{6}$	36	11	$\displaystyle\frac{55}{36}$
		$\displaystyle\frac{161}{6}$		$\displaystyle\frac{791}{36}$		$\displaystyle\frac{97}{81}$	$\displaystyle\frac{5005}{216}$	$\displaystyle\frac{2555}{1296}$
		$M(X)$		$M(X^2)$		$\delta(X)$	$dev(X)$	$var(X)$

Osserva

Media	$\displaystyle M(X)$	$\displaystyle \sum_i p_i\cdot x_i$	= $\displaystyle\frac{161}{36}$	= 4,472…
Scarto medio assoluto	$\displaystyle \delta(X)$	$\displaystyle \sum _{i}p_i\|x_{i}-m\|}$	= $\displaystyle\frac{97}{81}$	~ 1,1975
Devianza	$\displaystyle dev(x)$	$\displaystyle \sum_{i}(x_i-m)^2$	= $\displaystyle\frac{5005}{216}$	~ 23,1713
Varianza	$\displaystyle var(X)$	$\displaystyle \sum_i p_i(x_i-m)^2$	= $\displaystyle\frac{2555}{1296}$	~ 1,9715
Deviazione standard	$\sigma (X)$	$\displaystyle \sqrt{\sum_i p_i(x_i-m)^2}$	= $\displaystyle\frac{\sqrt{2555}}{36}$	~ 1,4041
Deviazione standard relativa	$\displaystyle \sigma^{*}(X)$	$\displaystyle \frac{\sigma(X)}{\|M(X)\|}$	= $\displaystyle\frac{\sqrt{2555}}{161}$	~ 0,314
…	$\displaystyle M(X^2)$	$\displaystyle \sum_ip_i\cdot x_i^2$	= $\displaystyle\frac{791}{36}$
Varianza	$var(X)$	$\displaystyle M(X^2)-[M(X)]^2$	= $\displaystyle\frac{791}{36}-\left(\frac{161}{36}\right)^2$ = $\displaystyle\frac{2555}{1296}$	~ 1,9715