Matrici – ValCon.It

Considera matrici quadrate di dimensione 2, 3, …

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle B = \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$

Matrice nulla

$\displaystyle \textbf{0} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = 0$

Matrice identità

$\displaystyle \textbf{I} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = \begin{cases}1 & i=j \\0 & i\ne j\end{cases}$

Matrici diagonali

Matrice diagonale principale

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\0 & a_{22} & 0 \\0 & 0 & a_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = \begin{cases}... & i=j \\0 & i\ne j\end{cases}$

Matrice diagonale secondaria (antidiagonale)

$\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 0 & a_{13} \\0 & a_{22} & 0 \\a_{31} & 0 & 0\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = \begin{cases}... & i+j=n+1 \\0 & i+j\ne n+1\end{cases}$

Matrici triangolari

Matrice triangolare superiore

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22} & a_{23} \\0 & 0 & a_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = \begin{cases}... & i\le j \\0 & i > j\end{cases}$

Matrice triangolare inferiore

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\a_{21} & a_{22} & 0 \\a_{31} & a_{31} & a_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle a_{ij} = \begin{cases}... & i\ge j \\0 & i < j\end{cases}$

Trasposta

La trasposta di $A$ è la matrice con gli elementi “ribaltati” rispetto alla diagonale principale.
Le righe di $A$ diventano le colonne di $A^T$ .

$\displaystyle C = A^T$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}^T$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22} & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$c_{ij} = a_{ji}$

Simmetrica

Una matrice A è simmetrica se è uguale alla sua trasposta

$\displaystyle A = A^T$

Proprietà

$a_{ij} = a_{ji}$

Prodotto per uno scalare

$\displaystyle C = k\cdot A$

= $\displaystyle k\cdot \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}k\cdot a_{11} & k\cdot a_{12} & k\cdot a_{13} \\k\cdot a_{21} & k\cdot a_{22} & k\cdot a_{23} \\k\cdot a_{31} & k\cdot a_{32} & k\cdot a_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle c_{ij} = k\cdot a_{ij}$
$\displaystyle k\cdot A = A\cdot k$
$\displaystyle 0\cdot A = A\cdot 0 = \textbf{0}$

Addizione

$A_{3x3} + B_{3x3} \rightarrow C_{3x3}$

$\displaystyle C = A+B$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}$
$\displaystyle A+B = B+A$
$\displaystyle (A+B)+C = A+(B+C)$
$\displaystyle A+\textbf{0} = \textbf{0}+A = A$
La somma di due matrici triangolari (simili) è una matrice triangolare
La somma di due matrici diagonali (simili) è una matrice diagonale

$\displaystyle C = A-B$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33}\end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle c_{ij} = a_{ij}-b_{ij}$
$\displaystyle A-B = A+(-B)$
$\displaystyle A+(-A) = \textbf{0}$
$\displaystyle -A = (-1)\cdot A$

Prodotto

Se le due matrici non sono quadrate e della stessa dimensione allora sono compatibili per il prodotto se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B

$A_{2x3} \cdot B_{3x2} \rightarrow C_{2x2}$

$\displaystyle C = A\cdot B$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}\\b_{31} & b_{32}\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \\\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} \\c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle c_{ij} = a_{i*}\cdot b_{*j}$
Prodotto scalare tra una riga di A e una colonna di B
$\displaystyle A\cdot B \ne B\cdot A$
La moltiplicazione tra matrici non è commutativa
$\displaystyle (A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$

Se le matrici sono quadrate

$A_{3x3} \cdot B_{3x3} \rightarrow C_{3x3}$

$\displaystyle C=A\cdot B$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$

= $\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}\end{bmatrix}$