Scolari imesi

di
Competizioni matematiche

Olimpiadi di Matematica – Gara Nazionale a Squadre 2001 – Numero 24

A uno scolaro imese è stato assegnato il seguente esercizio.
Deve trovare tutte le coppie ordinate di numeri naturali (m, n) in modo che sia m che n siano divisori di 385 e tali che m è divisore di n.
Potreste dargli una mano dicendogli quante sono?

(NB: 1 e k vengono considerati divisori di k)

Soluzione 1

  1. 385 = 5•7•11
    1. Divisori di 385 = {1, 5, 7, 11, 5•7, 5•11, 7•11, 5•7•11} = {1, 5, 7, 11, 35, 55, 77, 385}
  2. Coppie ordinate con m|385, n|385 e m|n
    • (1, 5) (1, 7) (1, 11) (1, 35) (1, 55) (1, 77) (1, 385)
    • (5, 7) (5, 11) (5, 35) (5, 55) (5, 77) (5, 385)
    • (7, 11) (7, 35) (7, 55) (7, 77) (7, 385)
    • (11, 35) (11, 55) (11, 77) (11, 385)
    • (35, 55) (35, 77) (35, 385)
    • (55, 77) (55, 385)
    • (77, 385)
  3. Le coppie ordinate sono \displaystyle {8\choose 2} = 28 ma che soddisfano tutte le richieste rimangono 19

Soluzione 2

  1. Non è necessario generare tutti i divisori… Formula?
  2. …