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Olimpiadi di Matematica – Gara Nazionale a Squadre 2001 – Numero 2

I pianeti della confederazione vengono identificati da una coppia di numeri naturali.
La capitale (il pianeta d’origine della civiltà) è $(0, 0)$ e il primo pianeta colonizzato viene identificato con la coppia $(1, 0)$ , il secondo da $(0, 1)$ , il terzo da $(2, 0)$ , il quarto da $(1, 1)$ e così via.
Che posizione occupa il pianeta $(24, 25)$ nella storia dei pianeti colonizzati dagli Imo?

(N.B. Più formalmente $(a, b)$ viene prima di $(c, d)$ se e solo se: $a+b < c+d$ oppure $a+b=c+d$ e $a > c$ .)

Soluzione 1

Pianeti colonizzati	Quanti sono?
$(1, 0)$ $(0, 1)$	2
$(2, 0)$ $(1, 1)$ $(0, 2)$	3
$(3, 0)$ $(2, 1)$ $(1, 2)$ $(0, 3)$	4
$(4, 0)$ $(3, 1)$ $(2, 2)$ $(1, 3)$ $(0, 4)$	5
…	…
$(47, 0)$ $(46, 1)$ … $(1, 46)$ $(0, 47)$	48
$(48, 0)$ $(47, 1)$ … $(1, 47)$ $(0, 48)$	49
$(49, 0)$ $(48, 1)$ … $(24, 25)$	`26`

Che posizione occupa il pianeta $(24, 25)$ ?

$\displaystyle \sum_{n=2}^{49} (n) + 26$ = $\displaystyle \sum_{n=1}^{49} (n)-1+26$ = $\displaystyle \frac{49\cdot 50}{2} + 25$ = 1225 + 25 = 1250

Soluzione 2

Somma indici	Pianeti colonizzati	Quanti sono?
1	$(1, 0)$ $(0, 1)$	2
2	$(2, 0)$ $(1, 1)$ $(0, 2)$	3
3	$(3, 0)$ $(2, 1)$ $(1, 2)$ $(0, 3)$	4
4	$(4, 0)$ $(3, 1)$ $(2, 2)$ $(1, 3)$ $(0, 4)$	5
	…	…
47	$(47, 0)$ $(46, 1)$ … $(1, 46)$ $(0, 47)$	48
48	$(48, 0)$ $(47, 1)$ … $(1, 47)$ $(0, 48)$	49
49	$(49, 0)$ $(48, 1)$ … $(24, 25)$	`26`

Che posizione occupa il pianeta $(24, 25)$ ?

$\displaystyle \sum_{i=1}^{48} (i+1)+26$ = $\displaystyle \sum_{i=1}^{48} (i) + \sum_{i=1}^{48} (1) +26$ = $\displaystyle \frac{48\cdot 49}{2}+48+26$ = 1176 + 74 = 1250