Esame di Stato dal 2011 al 2015

Anno 2011 PNI – Problema 1

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Anno 2011 PNI – Problema 2

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Anno 2011 – 4
Anno 2011 PNI – 4

Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

Anno 2011 – 7

Si provi che l’equazione $x^{2011}+2011x+12=0$ ha una sola radice fra -1 e 0.

Un test d’esame consta dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risultino corrette?

Anno 2011 PNI – 8

In cosa consiste il problema della quadratura del cerchio?

Anno 2012 PNI – Problema 2

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Anno 2012 PNI – 2

Una moneta da 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

Anno 2012 PNI – 5

Siano dati nello spazio n punti P₁, P₂, P₃, …, P_n. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposta che nessuna quaterna sia complanare)?

Anno 2012 PNI – 8

Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quanta probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

Anno 2013 – 5

In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano conto che a un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% oppure del 25%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa il 33% (oppure 75% oppure 100%: raddoppio).” È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Anno 2013 PNI – 5

In un libro si legge: “Se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%) mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,76%).” È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Anno 2013 PNI – 6

Con le cifre da 1 a 7…

Anno 2013 PNI – 7

In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?

Anno 2013 PNI – 10

Si stabilisca per quali valori $k\in\mathbb{R}$ l’equazione $x^2(3-x) = k$ ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0; 3]. Posto k=3, si approssimi con 2 cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

Anno 2014 – 3

Nello sviluppo di $\left(2a^2-3b^3 \right)^n$ compare il termine $-1080a^4b^9$ . Qual è il valore di n?

Anno 2014 PNI – 3

Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche. Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità: esattamente una pallina è rossa; le tre palline sono di colori differenti.

Anno 2014 – 5

Dei numeri 1, 2, 3, …, 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5?

Anno 2014 PNI – 7

Se $f\prime(x)=\ln x-x+2$ , per quale dei seguenti valori approssimanti di x, f ha un minimo relativo?

A=5,146
B=3,146
C=1,000
D=0,159
E=0

Anno 2014 PNI – 8

La zara è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.

Anno 2015 PNI – 3

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?

Anno 2015 PNI – 8

I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all’interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?