Eliminazione di Gauss

L’eliminazione di Gauss trasforma una matrice quadrata A in una matrice triangolare superiore T.

La matrice triangolare si presta al

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}$

A ogni passo si elimina (annulla) un elemento sotto la diagonale principale.
Alla sua riga si sottrae un certo multiplo di un’altra riga: $R_i \leftarrow R_i-m_{j}\cdot R_j$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Eliminare $a_{21}$

$m_{1} = \displaystyle \frac{a_{21}}{a_{11}}$

$R_2 = R_2-m_{1}\cdot R_1$

$\displaystyle \begin{matrix}\, & a_{21} & a_{22} & a_{23} & -\\(m_{1}) & a_{11} & a_{12} & a_{13} & = \\\, & 0 & b_{22} & b_{23} & \, \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Eliminare $a_{31}$

$m_{1} = \displaystyle \frac{a_{31}}{a_{11}}$

$R_3 = R_3-m_{1}\cdot R_1$

$\displaystyle \begin{matrix}\, & a_{31} & a_{32} & a_{33} & -\\(m_{1}) & a_{11} & a_{12} & a_{13} & =\\\, & 0 & b_{32} & b_{33} & \, \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\0 & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$

Eliminare $b_{32}$

$m_{2} = \displaystyle \frac{a_{32}}{a_{22}}$

$R_3 = R_3 -m_{2}\cdot R_2$

$\displaystyle \begin{matrix}\, & 0 & b_{32} & b_{33} & -\\(m_{2}) & 0 & b_{22} & b_{23} & =\\\, & 0 & 0 & c_{33} & \, \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & b_{22} & b_{23} \\0 & 0 & c_{33}\end{bmatrix}$

Matrice triangolare superiore

Eliminazione di Gauss-Jordan

Dopo essere arrivati alla matrice triangolare superiore si può continuare, dal basso verso l’alto, e ottenere una matrice diagonale.

La matrice diagonale si presta al

$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle T = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}$

$\displaystyle D = \begin{bmatrix}d_{11} & 0 & 0 \\0 & d_{22} & 0 \\0 & 0 & d_{33}\end{bmatrix}$

Esempio 2×2

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$

Eliminare $a_{21}$

$m_1 = \displaystyle\frac{a_{21}}{a_{11}} = \displaystyle\frac{3}{1} = 3$

$R_2 = R_2 -m_1\cdot R_1$ = $R_2 -3 R_1$

$\displaystyle \begin{matrix}\, & 3 & 4 & -\\\\(3) & 1 & 2 & \, \\\, & 3 & 6 & = \\\\\, & 0 & -2 & \, \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\0 & -2\end{bmatrix}$

Eliminare $a_{12}$

$m_2 = \displaystyle\frac{a_{12}}{a_{22}} = \displaystyle\frac{2}{-2} = -1$

$R_1 = R_1 -m_2\cdot R_2$ = $R_1 -(-1) R_2$

$\displaystyle \begin{matrix}\, & 1 & 2 & -\\\\(-1) & 0 & -2 & \, \\\, & 0 & 2 & = \\\\\, & 1 & 0 & \, \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -2\end{bmatrix}$

Matrice diagonale principale