Esame di Stato 2006 PNI – Quesito 8

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

Passo 1

Considera le probabilità degli eventi

Evento		Probabilità
Colpire il bersaglio con un tiro	=	$\displaystyle \frac{3}{10}$
NON colpire il bersaglio con un tiro	= $\displaystyle 1-\frac{3}{10}$ =	$\displaystyle \frac{7}{10}$
NON colpire il bersaglio con n tiri	=	$\displaystyle \left(\frac{7}{10}\right)^n$
Colpire il bersaglio almeno una volta con n tiri	=	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^n$

Passo 2

Risolvere l’equazione

$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^n \ge 0,99$

…

$n \ge 12,9...$

$n \ge 13$

oppure calcolare la probabilità per n=1, 2, 3, … finché p ≥0,99

\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^1

\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^2

Numero tiri	Probabilità
1	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^1$	= 1 – 0,7	= 0,3
2	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^2$	= 1 – 0,49	= 0,51
3	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^3$	= 1 – 0,343	= 0,657
4	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^4$	= 1 – 0,2401	= 0,7599
5	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^5$	…	~ 0,8319
6	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^6$		~ 0,8824
7	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^7$		~ 0,9176
8	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^8$		~ 0,9424
9	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^9$		~ 0,9596
10	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{10}$		~ 0,9718
11	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{11}$		~ 0,9802
12	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{12}$		~ 0,9862
13	$\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{13}$		~ 0,9903