Esame di Stato 2008 PNI – Quesito 9

di

In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.

Siano A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, m, n, o, p, q, r, s, t i nomi dei 12 maschi e delle 8 femmine

  1. In quanti modi ordinati posso scegliere 8 allievi?
    ABCDEFGH, ABCDEFGI, ABCDEFGJ, …, mnopqrst
    \displaystyle {20 \choose 8} = \displaystyle \frac{20!}{8!\ \cdot\ 12!}
  2. In quanti modi ordinati posso scegliere 4 allievi maschi?
    ABCD, ABCE, ABCF, …, IJKL
    \displaystyle {12 \choose 4} = \displaystyle \frac{12!}{4!\ \cdot\ 8!}
  3. In quanti modi ordinati posso scegliere 4 allieve?
    mnop, mnoq, mnor, …, qrst
    \displaystyle {8 \choose 4} = \displaystyle \frac{8!}{4!\ \cdot\ 4!}
  4. In quanti modi ordinati posso scegliere 4 maschi e 4 femmine?
    ABCDmnop, ABCDmnoq, …, ABCDqrst, …, IJKLmnop, IJKLmnoq, …, IJKLqrst
    \displaystyle {12 \choose 4}{8 \choose 4}
  5. La probabilità che …
    \displaystyle \frac{{12 \choose 4}{8 \choose 4}}{{20 \choose 8}} = … = \displaystyle \frac{11\cdot 7 \cdot 5 \cdot 3}{19\cdot 17 \cdot 13} = \displaystyle \frac{1155}{4199} ~ 0,275 (27,5 %)