Esame di Stato 2016 PNI – 7

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.

Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa.

Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?

Soluzione 1

Il numero di percorsi per ogni coppia (partenza, arrivo) è dato dal numero di anagrammi diversi (permutazioni con ripetizioni) componibili con le lettere E (Est) e N (Nord)

Dalla partenza a A, 14 lettere, 7 lettere E, 7 lettere N

$\displaystyle \frac{14!}{7!7!}$ = 3.432

Dalla partenza a B, 8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N

$\displaystyle \frac{8!}{3!5!}$ = 56

Da B a A, 6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N

$\displaystyle \frac{6!}{4!2!}$ = 15

Dalla partenza a A passando per B, 8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N, 6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N

$\displaystyle \frac{8!}{3!5!}\cdot\frac{6!}{4!2!}$ = 56·15 = 840

La probabilità di passare per B in un percorso dalla partenza a A

p = $\displaystyle \Large \frac { \frac{8!}{3!5!}\cdot\frac{6!}{4!2!} } { \frac{14!}{7!7!} }}$ = $\displaystyle \frac {35}{143}$ = 0,244755… ~24,5%