Sistemi lineari, con l’eliminazione di Gauss

Considera il sistema lineare

$\displaystyle Ax = b$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix}$

Applica l’eliminazione di Gauss alla matrice A affiancata da b

$\displaystyle A\, |\, b = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3\end{bmatrix}$

$\displaystyle T\, |\, g = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & | & g_{1} \\0 & t_{22} & t_{23} & | & g_{2} \\0 & 0 & t_{33} & | & g_{3} \\\end{bmatrix}$

Si ottiene un sistema, con le stesse soluzioni, che può essere risolto calcolando i valori delle variabili partendo dal basso e sostituendo, verso l’alto, i valori ottenuti

$\displaystyle \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_1 \\g_2 \\g_3\end{bmatrix}$

$x_3 = g_{3}/t_{33}$
$x_2 = (g_{2}-t_{23}\cdot x_3) / t_{22}$
$x_1 = (g_{1}-t_{12}\cdot x_2-t_{13}\cdot x_3) / t_{11}$

Applicando la stessa manipolazione (moltiplicazione per una matrice G) a entrambi i membri si ottiene un sistema equivalente.

$\displaystyle Ax = b$
$\displaystyle GAx = Gb$
$\displaystyle Tx = g$

Eliminazione di Gauss-Jordan

Se si applicano le manipolazioni che trasformano A in una matrice diagonale la fase finale risulta ancora più semplice

$\displaystyle \begin{bmatrix}d_{11} & 0 & 0 \\0 & d_{22} & 0 \\0 & 0 & d_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}j_1 \\j_2 \\j_3\end{bmatrix}$