Esame di Stato dal 2006 al 2010

Anno 2006 PNI – 4

Si dimostri che l’equazione $\sin x = x-1$ ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.

Anno 2006 – 5
Anno 2006 PNI – 5

Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di $\displaystyle (a+b )^n$ è uguale a $\displaystyle 2^n$ per ogni $\displaystyle n\in \mathbb{N}$ .

Anno 2006 PNI – 7

Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la probabilità non esiste!».
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

Anno 2006 PNI – 8

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

Anno 2006 PNI – 10

Tenuto conto che $\displaystyle \frac{\pi}{4} = \int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx$ calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Anno 2007 Suppletiva 5

Si dimostri che l’equazione $e^x +x^3 = 0$ ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.

Anno 2007 – 6

Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggioranza del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.
Che cosa si può dire del prezzo finale?

Anno 2007 PNI – 6

Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha una lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

Anno 2007 Suppletiva – 6

Si scelga a caso un punto P all’interno di un cerchio.
Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio.

Anno 2007 – 8

Si risolva l’equazione: $\displaystyle 4{n \choose 4} = 15{n-2 \choose 3}$ .

Anno 2007 PNI – 8

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro.
Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono.
Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima.
A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare.”

Anno 2007 Suppletiva – 10

Si risolva la disequazione $\displaystyle {x \choose 3} > \frac{15}{2}{x \choose 2}$ .

Anno 2007 Suppletiva PNI – 10

Si risolva la disequazione $\displaystyle 5{x \choose 3} \le {x+2 \choose 3}$ .

Anno 2008 PNI – Problema 1

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Anno 2008 PNI – Problema 2

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Anno 2008 PNI – 1

Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

Anno 2008 Suppletiva – 4

Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa.

Anno 2008 Suppletiva – 5

Si dimostri che l’equazione $(3-x)e^x-3=0$ per $x > 0$ ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.

Anno 2008 Europa – 5

Si dimostri che l’equazione $x^7+5 x+5 = 0$ ha una sola radice reale.

Anno 2008 – 6

Se $\displaystyle {n \choose 1}$ , $\displaystyle {n \choose 2}$ , $\displaystyle {n \choose 3}$ , con n>3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

Anno 2008 PNI – 9

In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.

Anno 2008 Suppletiva – 10

Tenuto conto che $\displaystyle \frac{\pi}{6}=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx$ si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.

Anno 2009 PNI – Problema 1

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Anno 2009 PNI – 3

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

Anno 2009 PNI – 6

Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione $\sin x = 0$ , con punto iniziale $x_0 = 3$ .
Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

Anno 2009 – 7
Anno 2009 PNI – 7

Si dimostri l’identità $\displaystyle {n \choose k+1} ={n \choose k}\ \frac{n-k}{k+1}$ dove n e k naturali e n > k.

Anno 2009 – 8

Si provi che l’equazione $x^{2009}+2009x+1=0$ ha una radice compresa fra -1 e 0.

Anno 2009 PNI – 8

Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni.
Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

Anno 2010 PNI – Problema 2

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Anno 2010 PNI – 4

Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione $\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x}+x^3-1$ . Come si può essere certi che esiste un unico zero?

Anno 2010 PNI – 7

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.

Anno 2010 – 8
Anno 2010 PNI – 8

Se n>3 e $\displaystyle {n \choose n-1}$ , $\displaystyle {n \choose n-2}$ , $\displaystyle {n \choose n-3}$ , sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

Anno 2006 – 5Anno 2006 PNI – 5