Distribuzione normale

di

X, variabile casuale con distribuzione gaussiana, normale

  • Funzione densità di probabilità: f(x) = k\ e^{-h(x-\mu)^2}
  • Media = μ
  • Curva a campana, un unico picco, simmetrica
  • Moda = media
  • k influenza l’altezza della curva
  • h influenza lo sviluppo orizzontale della curva

Distribuzione gaussiana normalizzata

  • k = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
  • h = \frac{1}{2\sigma^2}
  • Funzione densità di probabilità: f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^x \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx
  • \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx \ = \ 1
  • Media = μ
  • Varianza = σ²
  • p(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) = 68,3%
  • p(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) = 95,5%
  • p(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) = 99,7%

X, variabile casuale con distribuzione normale standardizzata

  • μ=0
  • σ=1
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^z \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Data una distribuzione normale con valore medio μ e deviazione standard σ

  • Punteggio z di x, distanza di x dal centro della distribuzione misurata in numero di deviazioni standard
  • z = \frac{x-\mu}{\sigma}
  • x > μ ⇒ z > 0
  • x < μ ⇒ z < 0
  • p(a < X < b) = p(za < z < zb) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{z_a}^{z_b} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz